Державний університет телекомунікацій

Навчально-науковий виробничий центр, м. Львів

Затверджую

Зав. ННВЦ

__________ Яковлєва Т.С.

“___” _______ 2014 р.

Практична робота №3

Числові та функціональні ряди

з дисципліни “Вища математика”

для студентів заочної, прискореної форми навчання

(ІІІ курс, V семестр)

Склав: доцент, к.ф.-м.н.

Плешівський Я.М.

м.Львів-2014 р.

Тема: Дослідження збіжності знакопостійних числових рядів. Дослідження збіжності знакозмінних та знакопочережних числових рядів

Мета: навчитись встановлювати збіжність знакопостійних та знакопочережних рядів.

Література:

1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В.Вища математика. Київ, ЦУЛ, 2003.

2. Литвин І.І.,Конончук О.М.,Женлізняк Г.О. Вища математика. Львів, Атлас, 2002.

3. .Богомолов М.В. Практичні заняття з математики.Киів, Вища школа, 1994.

Теоретична частина

Рядом в математиці називають вираз виду

,

де - члени деякої нескінченної послідовності. Член називають загальним членом ряду.

Три крапки в кінці виразу вказують, що останнього доданку немає, тобто ряд є нескінченною сумою.

Якщо - числа, то ряд називають числовим. В залежності від знаку чисел ряди можуть бути знакопостійними та знакозмінними (знакопочережними).

Ряд, для якого існує границя послідовності часткових сум при n називають збіжним рядом, а число - сумою ряду. Якщо ж або не існує, то ряд називають розбіжним і йому не приписують жодного числового значення.

Необхідна ознака збіжності знакопостійного ряду: Якщо ряд збігається, то його загальний член при необмеженому зростанні n прямує до нуля:

.

Приклад 1. Дано загальний член ряду:

Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна ознака збіжності ряду.

Розв’язання:

Знаходимо

тобто .

Тому, що , то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.

Достатні умови збіжності знакопостійного ряду.

Перша ознака порівняння. Нехай дано два ряди і , причому a_n > b_n . Тоді: а) із збіжності ряду (A) (з більшими членами) випливає збіжність ряду (B) (з меншими членами); б) із розбіжності ряду (B) випливає розбіжність ряду (A).

При застосуванні даної ознаки часто використовують ряди, збіжність яких відома. Це може бути гармонічний ряд (розбіжний); узагальнений гармонічний ряд , (який збіжний при α>1, розбіжний при α<1); геометричну прогресію (збіжний при ).

Приклад 2. Використовуючи першу ознаку порівняння, дослідити на збіжність ряд:

.

Розв’язання: Для порівняння використовуємо ряд - збіжну геометричну прогресію (бо q = ½). Справедлива нерівність , отже ряд збігається.

Друга ознака порівняння: Нехай дано два ряди , .

Якщо , де   0,   , то обидва ряди ведуть себе однаково, тобто збігаються або розбігаються одночасно.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання: Тут . Для порівняння використаємо ряд з загальним членом - збіжну геометричну прогресію. Звідси:

Тому, що  = 1, то обидва ряди ведуть себе однаково і, значить, даний ряд збіжний.

Ознака Даламбера. Нехай дано ряд . Тоді, якщо існує то при <1 ряд збіжний; при >1 ряд розбіжний; при =1 потрібно скористатися іншою ознакою.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд:

.

Розв’язання: Тут , отже

.

Ряд збіжний.

Ознака Коші: Нехай дано ряд . Тоді, якщо існує то при <1 ряд збіжний; при >1 ряд розбіжний; при =1 потрібно скористатися іншою ознакою.

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання: Знайдемо

.

Отже, ряд - розбіжний.

Інтегральна ознака Коші.

Для досліджуваного ряду будують невластивий інтеграл .

Якщо невластивий інтеграл збігається, та збігається і числовий ряд, якщо ж невластивий інтеграл розбіжний, то й ряд буде розбіжним.

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду (ознака Лейбніца).

Якщо члени ряду спадають по абсолютній величині і то ряд збіжний.

Для знакозмінних рядів вводять поняття абсолютної збіжності.

Знакозмінний (знакопочережний) ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігаються одночасно даний ряд і ряд, складений з абсолютних величин його членів. Якщо ж збігається лише знакозмінний ряд , то його називають умовно збіжним рядом.

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряди:

а) ;

б) .

Розв’язання: а) Тому, що і то ряд збіжний за ознакою Лейбніца. Але ряд розбіжний, як гармонічний і, звідси, висновок, що даний знакозмінний ряд збігається умовно.

б) Даний знакозмінний ряд збігається абсолютно, бо ряд, складений із модулів його членів: , є узагальнений гармонічний, який при показникові степеня більшому за одиницю збігається.