6 Гармонічний аналіз
6.1 Гармоніка та ортогональні системи функцій
6.1.1 Різновиди гармонік та їх властивості
Означення 1. Дійсною гармонікою або просто гармонікою називають функції виду:
,
(6.1)
де А ≥ 0, ω, φ – деякі сталі. Число А називається амплітудою, ω – частотою, φ – початковою фазою гармоніки;
,
(6.2)
де а = Asinφ, b = Acosφ;
,
(6.3)
де n – ціле число.
Від гармоніки вигляду (2) можна перейти до вигляду (1), якщо прийняти
,
.
(6.4)
Означення 2. Уявною гармонікою називають комплекснозначну функцію вигляду
,
(6.5)
де ω – деяка дійсна, С – комплексна стала. Число С називають амплітудою, ω – частотою уявної гармоніки.
Дійсну гармоніку з частотою ω можна представити у вигляді суми двох уявних гармонік з частотами ω та – ω за формулою:
(6.6)
Усі гармоніки періодичні функції з періодом
.
(6.7)
Сума декількох гармонік однакової частоти є гармонікою такої самої частоти, але із зміненими амплітудою та фазою.
Сума декількох гармонік з різними частотами, які знаходяться в раціональному відношенні, буде періодичною функцією. Якщо складаються гармоніки з частотами ω, 2ω, 3ω,…nω, то період функції їх суми дорівнює
.
Графік суми декількох гармонік суттєво відрізняються від графіка гармонік, що складаються.
6.1.2 Ортогональні системи функцій
Означення 3. Послідовність функцій
… (6.8)
називають ортогональною системою функцій на проміжку , якщо будь-які дві функції цієї послідовності ортогональні на , тобто їх скалярний добуток дорівнює нулю:
при
.
Дві комплексно значні функції f(x) та g(x) називають ортогоналями на , якщо
.
Якщо кожну функцію ортогональної на послідовності функцій поділити на її норму, то одержимо ортонормовану систему функцій.
Наприклад, якщо послідовність (6.8) ортогональна на , то послідовність функцій
,
n
= 0, 1, 2, …
буде ортонормованою, оскільки
,
.
Означення 4. Ортогональну на систему функцій називають повною, якщо не існує відмінної від нуля неперервної на функції ортогональної для усіх функцій цієї системи.
Зауваження 1. Система функцій
(6.9)
ортогональна і
повна на проміжку
,
де
,
α –
довільне число.
Система функцій
1,
,
,
,
,
…,
,
,
… (6.10)
повна ортогональна на , де .
Нехай скалярний добуток функцій f(x) та g(x) визначений рівністю
,
(6.11)
де ρ(x) визначена на невід’ємна функція, яку називають ваговою функцією.
Означення 5. Функції f(x) та g(x) називають ортогональними на з вагою ρ(x), якщо
.
Зауваження 2.
Багаточлени Чебишова
,
n = 0, 1,
2, …
утворюють повну
ортонормовану систему на проміжку
з вагою
.
Багаточлени Лежандра
,
n = 0, 1,
2, …
утворюють на
повну ортогональну систему функцій з
вагою
.
Багаточлени Ерміта
,
n = 0, 1,
2, …
утворюють
повну ортогональну систему на
функцій з вагою
.