3.Автоматизация планирования имитационных экспериментов и составления командного (пакетного) файла для получения данных

Командный файл позволяет не только осуществить многократный прогон модели с заданными значениями входных переменных (для получения статистики), но и задавать при каждом прогоне новые значения переменных. Для этого используется функция bind, задающая значение переменной при данном прогоне модели, которое перебивает значение, заданное в исходном тексте программы. Поэтому появляется возможность планирования и пакетной реализации экспериментов с помощью составления командного файла.

Был бы ошибочным путь планирования однофакторных экспериментов, при которых в серии опытов изменяются значения только одной входной переменной при фиксированных значениях остальных. Получаемые при этом данные не будут корректными, поскольку при других значениях зафиксированных переменных влияние данной переменной на выходные характеристики может существенно измениться. Это связано с нелинейными эффектами взаимодействия переменных. Кроме того, для осуществления однофакторных экспериментов потребовалось бы огромное число опытов. Эти недостатки устраняет теория планирования экспериментов. В данной работе она используется в сочетании со средствами автоматизации составления планов и командного файла.

Для построения плана могут использоваться полный факторный эксперимент (ПФЭ) или дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Тип плана эксперимента выбирается пользователем. Вначале рассмотрим оба возможных варианта, проанализируем их достоинства и недостатки, после чего сделаем окончательный выбор и автоматизируем процесс построения плана проведения экспериментов. Подчеркнем, что без правильного планирования невозможно получение корректных данных для последующего анализа и оптимизации выходных характеристик СМО.

3.1. Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Планы ПФЭ 2^k являются простейшими планами первого порядка. Основание 2 означает, что принято два уровня варьирования значений каждого фактора, k – число факторов.

Для плана ПФЭ 2³ число факторов равно трем (k=3), а число уровней варьирования равно двум. Полное число возможных сочетаний значений k факторов (число опытов, а значит и число строк плана) N = 2³ = 8. Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. Кодирование можно рассматривать как перенос центра координат в точку x_i0 со средними натуральными значениями каждой i-ой переменной:

,

где соответственно максимальное и минимальное натуральное значение переменной. При этом в качестве новой масштабной единицы выбирается длина интервала варьирования :

Тогда максимальное кодированное значение i-ой переменной относительно нового центра координат, выраженное в новых масштабных единицах, составит:

Если заменить значение на , получим по той же формуле минимальное кодированное значение i-ой переменной . Таким образом, план ПФЭ 2^k будет содержать 2^k комбинаций из значений +1 или -1 каждой нормированной переменной. Часто в матрице плана оставляют только знаки уровня + или -. Ниже приведены все возможные комбинации значений трех факторов на двух уровнях каждый:

№ опыта	X1	X2	X3
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1
7	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1

При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах комбинирования. Простейший из них основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (x₁) знаки чередуются в каждой строке, во втором они чередуются через 2 строки, в третьем - через 4, в четвертом - через 8, в пятом - через 16 и т. д. в соответствии со степенями двойки.

Столбец значений любой переменной в плане ПФЭ можно представить как вектор в n-мерном пространстве (n – число экспериментов). В ПФЭ все столбцы попарно ортогональны, т.е. сумма парных произведений соответствующих элементов столбцов всегда равна нулю. Это означает, что проекция одного вектора экспериментов на любой другой равна нулю. Ортогональность – важнейшее свойство плана ПФЭ. Оно позволяет вычислять по данным эксперимента независимые оценки коэффициентов уравнения регрессии, описывающего связь нормированных переменных с непрерывной функцией отклика (выбранной выходной характеристикой). В нашем случае применяется другой метод анализа (построение деревьев решений), поскольку выходные характеристики даны не в числовом, а в категориальном виде, для чего метод регрессии не подходит. Но идею ортогонального комбинирования можно использовать.

Различают ядро плана ПФЭ, которое включает в себя только фактические переменные в нормированном виде, и расширенную матрицу ПФЭ. Последняя, наряду с фактическими, линейными факторами, включает в себя столбцы фиктивных переменных, образуемых произведениями линейных. В вышеприведенную матрицу, которая является ядром, можно добавить столбцы Х₁*Х₂, Х₁*Х₃, Х₂*Х₃ и Х₁*Х₂*Х₃, чередование знаков в которых будет определяться алгебраическими произведениями соответствующих элементов. Получится расширенная матрица, сохранившая свойство ортогональности любых двух столбцов. Расширенная матрица позволяет рассчитать коэффициенты в уравнении регрессии также и при этих фиктивных переменных. Но мы эти коэффициенты не рассчитываем: матрица нужна нам только для правильного комбинирования. С этой точки зрения план ПФЭ имеет существенные недостатки. Во-первых, с ростом числа факторов количество экспериментов резко возрастает по показательной функции 2^k, что трудно реализовать на практике. Во-вторых, соответственно возрастает количество столбцов всевозможных произведений, не поддающихся интерпретации. Для сокращения объема экспериментов можно воспользоваться шаблонами столбцов произведений плана ПФЭ, обладающих свойством ортогональности, и обозначить эти столбцы именами недостающих фактических переменных. В нашем примере это будут Х₄ = Х₁*Х₂, Х₅ = Х₁*Х₃, Х₆ = Х₂*Х₃ и Х₇ = Х₁*Х₂*Х₃. Таким образом, фактических переменных можно ввести 7, а число опытов останется равным 8. Такой план получил название дробного факторного эксперимента, обозначаемого в данном случае как ДФЭ 2^{7 - 4}. Рассмотрим подробнее свойства таких планов и их преимущества перед ПФЭ.