2. Контрольные работы по начертательной геометрии

2.1. Объем и содержание контрольных графических работ, условия задач и исходные данные для них

Количество контрольных работ (номера эпюров), перечень задач, входящих в работу в зависимости от специальности, приведены в табл. 2.1, темы контрольных работ, номера и условия задач – в табл. 2.2.

Исходные данные к задачам 1 – 8 для студентов очной формы обучения представлены в табл. П.2.1, заочной и дистанционной формы обучения – в табл. П.2.2.

Чертежи задач выполняются по координатам точек в заданном масштабе и располагаются с учетом наиболее рационального размещения в пределах указанного формата листа.

Т а б л и ц а 2.1

Объем контрольной графической работы

Номер эпюра	Формат листа и масштаб изображений	Номера задач	Факультет (специальность)
1	А2, М 2:1	1, 2, 3, 4, 5	МФ, ТЭФ, ЭМФ, ИМЭК (220501), ИАТИТ (190702, 230101, 190402)
2	А3, М 1:1	6, 7, 8	Все факультеты

Т а б л и ц а 2.2

Условия задач расчетно-графических работ

Номер задачи	Тема, условие задач	Исходные данные
1	Контрольная работа 1 Точка, прямая и плоскость на комплексном чертеже По координатам вершин A, B, C построить проекции треугольника. Найти горизонтальный и фронтальный следы плоскости треугольника ABC	Прил. 2
2	Опустить перпендикуляр из точки D на плоскость треугольника ABC
3	Через точку D провести плоскость, параллельную плоскости треугольника ABC
4	Через вершину C провести линии наибольшего наклона треугольника ABC к плоскостям проекций П1 и П2
5	Определить линию пересечения треугольников ABC и DEK с учетом их взаимной видимости
6	Контрольная работа 2 Метрические задачи Определить натуральную величину треугольника ABC
7	Определить угол наклона плоскости треугольника ABC к плоскостям проекций П1 и П2
8	Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC

2.2. Указания к решению задач

2.2.1. Первый эпюр

Пример выполнения первого эпюра, который включает в себя решение задач 1 – 5, показан на рис. 2.1 (решение задачи 1 приведено в левом верхнем углу).

З а д а ч а 1. По координатам вершин А, B, C построить проекции треугольника. Найти горизонтальный и фронтальный следы плоскости треугольника ABC.

Горизонтальным (фронтальным) следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной (фронтальной) плоскостью проекции.

Горизонтальным (фронтальным) следом плоскости называют линию пересечения плоскости с одноименной плоскостью проекций.

Следы плоскости проходят через следы прямых, лежащих в этой плоскости, и пересекаются на оси проекций. Так как следы прямых и плоскостей принадлежат плоскостям проекций, то их проекции на эти плоскости совпадают с самими следами, а другие проекции принадлежат осям проекций.

Фронтальный след плоскости треугольника определяем по фронтальным следам прямых АВ и АС, принадлежащих заданной плоскости. Для нахождения фронтального следа прямой АВ продолжаем ее горизонтальную проекцию А₁В₁ до пересечения с осью проекции F₁, которая является горизонтальной проекцией искомого следа. Проводим из точки F₁ перпендикуляр к оси проекций (линию связи) до пересечения его с продолжением фронтальной проекции А₂В₂, точка F₂ является фронтальной проекцией искомого следа, она совпадает с самим следом F.

Аналогичным образом определяем фронтальный след F прямой АС. Соединив проекции F₂ и F₂, найдем фронтальную проекцию фронтального следа плоскости которая совпадает с самим следом и точку схода следов S_х на оси проекций.

Горизонтальный след заданной плоскости пройдет через точку схода следов и горизонтальный след любой прямой этой плоскости, например прямой АС. Для нахождения горизонтального следа продолжаем проекцию А₂С₂ до пересечения с осью проекций, точка H₂ является фронтальной проекцией искомого следа. Горизонтальную проекцию H₁ определяем по линии связи на продолжении проекции А₁С₁. Соединив S_х и H₁, получаем горизонтальный след плоскости h⁰.

Следует заметить, что иногда точка схода следов плоскости выходит за пределы чертежа. В этом случае необходимо найти два фронтальных и два горизонтальных следа прямых заданной плоскости.

Алгоритм решения задачи 1:

  ₂ = F  C  ₂ = F = ; C  ₁ =   (   = S_х = h⁰.

З а д а ч а 2. Опустить перпендикуляр из точки D на плоскость треугольника ABC.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Горизонталь и фронталь (линии уровня плоскости)  прямые, лежащие в плоскости и параллельные, соответственно, горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

Теорема о проецировании прямого угла: прямой угол проецируется без искажения на плоскость проекций, когда одна его сторона параллельна этой плоскости проекций, а другая  не перпендикулярна к ней.

Введем обозначения:

  плоскость заданного треугольника;

l  перпендикуляр к плоскости треугольника.

В качестве пересекающихся прямых в плоскости треугольника целесообразно взять горизонталь h и фронталь f (см. рис. 2.1). На основании теоремы о проецировании прямого угла будем иметь: l₁  h₁ и l₂  f₂.

Горизонталь (ее фронтальная проекция параллельна оси проекций) проведена через точку В (см. рис. 2.1), а фронталь (ее горизонтальная проекция параллельна оси проекций) – через точку А. Вторые проекции этих линий построены по условию принадлежности с помощью точек 1 и 2. Проводим проекции искомого перпендикуляра через точку D: горизонтальную (l₁)  перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (h₁), фронтальную (l₂)  перпендикулярно фронтальной проекции фронтали (f₂).

Алгоритм решения задачи 2:

(D₁ l₁  h₁)  (D₂ l₂  f₂)  D l  (ABC).

З а д а ч а 3. Через точку D провести плоскость, параллельную плоскости треугольника ABC.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Две прямые параллельны, если их одноименные проекции параллельны.

Искомая плоскость  (см. рис. 2.1) определена прямыми m и n, пересекающимися в точке D. Прямая m  AC, n  AB.

Рис. 2.1

Алгоритм решения задачи 3:

(D  m  AC)  (D  n  AB)   (m  n)   (ABC);

D  m  AC  (D₁  m₁  A₁C₁)  (D₂  m₂  A₂C₂);

D  n  AB  (D₁  n₁  A₁B₁)  (D₂  n₂  A₂B₂).

З а д а ч а 4. Через вершину С провести линии наибольшего наклона (ЛНН) треугольника АВС к плоскостям проекций П₁, П₂.

Прямые какой-либо плоскости, перпендикулярные к линиям уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона плоскости к соответствующей плоскости проекций. ЛНН, перпендикулярная к горизонтали плоскости, образует наибольший угол с горизонтальной плоскостью проекций, а перпендикулярная к фронтали – наибольший угол с фронтальной плоскостью проекций.

Проведем в плоскости треугольника АВС (см. рис. 2.1) горизонталь h и фронталь f, обозначая горизонталь точками В и 6, а фронталь – точками А и 5.

Так как ЛНН к плоскости П₁ перпендикулярна горизонтали заданной плоскости (перпендикулярность сохраняется на горизонтальной проекции), то горизонтальную проекцию ЛНН к плоскости П₁ (С₁3₁) проводим через точку С₁ перпендикулярно проекции h₁. Фронтальную проекцию ЛНН к плоскости П₁ (С₂3₂) находим по условию принадлежности прямой С3 плоскости треугольника. Так как ЛНН к плоскости П₂ перпендикулярна фронтали плоскости треугольника (перпендикулярность сохраняется на фронтальной проекции), то фронтальную проекцию ЛНН к плоскости П₂ (С₂4₂) проводим через точку С₂ перпендикулярно проекции f₂. Горизонтальную проекцию (С₁4₁) находим при помощи точек С и 4, принадлежащих плоскости треугольника АВС.

Алгоритм решения задачи 4:

( АВC)  C3  h, С₁3₁  h₁; (АВС)  C4  f, С₂4₂  h₂.

З а д а ч а 5. Определить линию пересечения треугольников ABC и DEK с учетом их взаимной видимости.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей состоит в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и при пересечении построенных линий получают общую точку двух заданных плоскостей. Для определения второй общей точки построение повторяют с помощью второй вспомогательной плоскости.

В качестве вспомогательных плоскостей обычно берут плоскости частного положения  плоскости уровня относительно плоскостей проекций (горизонтальные, фронтальные) или проецирующие (перпендикулярные к плоскостям проекций).

Для построения линии пересечения двух плоскостей можно использовать точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Точку пересечения прямой с плоскостью строят в следующем порядке: через заданную прямую проводят вспомогательную проецирующую плоскость, строят линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей, в пересечении построенной линии с заданной прямой отмечают искомую точку.

Видимость геометрических элементов на комплексном чертеже определяется с помощью конкурирующих точек, проекции которых на какую-либо плоскость проекций совпадают. Из двух горизонтально конкурирующих точек на плоскости П₁ будет видна та, у которой больше «высота», т. е. больше значение координаты z, а из двух фронтально конкурирующих точек на плоскости П₂ видна будет та, у которой больше «глубина», т. е. больше значение координаты y.

Для решения задачи (см. рис. 2.1) применен второй (описанный выше) способ. Точка пересечения прямой КЕ с плоскостью треугольника АВС (точка М) найдена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости Ф, фронтальный след которой совпадает с прямой К₂Е₂. Вспомогательная плоскость пересекается с плоскостью треугольника АВС по линии 7 – 8. Пересечение горизонтальных проекций линии 7 – 8 и прямой КЕ (точка М₁) является горизонтальной проекцией первой точки линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция точки М построена по условию принадлежности прямой КЕ.

Аналогичным способом получена и точка N, которая является точкой пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEK. Разница состоит в том, что в качестве вспомогательной взята горизонтально проецирующая плоскость Г, горизонтальный след которой совпадает с прямой В₁С₁. Плоскость Г пересекает треугольник DEK по линии 9 – 10. Пересечение фронтальных проекций линии и прямой ВС (точка N₂) является фронтальной проекцией искомой точки, ее горизонтальная проекция определяется по условию принадлежности прямой ВС. Видимость плоскостей треугольников на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 9 и 11, а на фронтальной  с помощью фронтально конкурирующих точек 8 и 12. Точка 9 расположена выше точки 11 (у нее больше значение координаты у), поэтому она будет видимой на П₁. Так как точка принадлежит прямой KD, то и эта прямая будет видимой.

На фронтальной проекции видимой будет прямая КЕ. Принадлежащая ей точка 12 видимая  она ближе расположена к наблюдателю (у нее больше значение координаты y), чем конкурирующая с ней точка 8.

Алгоритм решения задачи 5:

(AВС)  ВС  (KDE) = N;

(KDE)  KE  (ABC) = М;

(KDE)  (ABC) = MN.