Казанский национальный исследовательский технический университетим. А. Н. Туполева

Институт авиации, наземного транспорта и энергетики

Кафедра технологии машиностроительных производств

Е. М. Коровин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНОЛОГИИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Казань 2011.

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ №1

ФОРМИРОВАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

МЕТОДОМ ПОЛНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Полным факторным называется эксперимент, который реализует все возможные сочетания из u уровней для k факторов. Количество опытов при этом определяется выражением

N = u^k (1)

Процедура планирования многофакторного эксперимента содержит ряд последовательных этапов. Раскроем содержание этих этапов на примере исследования динамики точения (рис. 1). Необходимо методом полного факторного эксперимента раскрыть зависимость усилия резания P_z от глубины резания t и продольной подачи S и выполнить статистическую обработку результатов.

Рис. 1

1. Выбор типа модели.

Для модели позинома все вычисления необходимо выполнять в логарифмах, что усложняет статистическую обработку результатов.

Для упрощения вычислений в качестве модели выбираем полином первой степени с взаимодействием факторов

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₁x₂ (2)

или для рис. 1

P_z = b₀ + b₁t + b₂S + b₃ t S (3)

2. Выбор уровней варьирования факторов.

Для условий чернового точения (рис. 1) выбираем следующие уровни варьирования факторов:

W: t = 2 – 6 мм., S = 0.3 – 0.6 мм/об.

3. Разработка матрицы планирования.

При планировании эксперимента каждый фактор варьируется на двух уровнях: верхнем x_вj, и нижнем x_нj. Поэтому, согласно (1), в нашем случае нужно поставить

N = 2² = 4 опыта

Таблица, содержащая все возможные сочетания из двух уровней для k факторов, называется матрицей планирования. Для двух факторов стандартная матрица планирования приведена в табл. 1. Геометрической иллюстрацией матрицы планирования является область варьирования факторов (рис. 2).

X₂

S

ΔХ₁=2

Таблица 1

Х1 i	X1	3 4 Хв2 0.6 ΔХ2=0.15 X2
1	Xн1	Х02 0.45 5 Xн2
2	Xв1	2 0.3 Xн2
3	Xн1	X1 Хн1 Х01 Хв1 Хн2 1 Xв2
4	Xв1	Xв2

X

t

2 4 6

_н1

Рис. 2

Согласно рис. 2 строки матрицы планирования задают координаты углов прямоугольника 1, 2, 3, 4, ограничивающего область, для всех точек и границ которой будет корректна формируемая модель (3).

4. Кодирование факторов.

Кодирование - это приведение натуральных факторов Х_j к безразмерным Z_j, принимающими значения ± 1 и 0. Кодирование позволяет:

1) упростить процесс формирования математической модели;

2) упростить статистическую обработку результатов эксперимента;

3) раскрыть степень влияния факторов на параметр.

Кодирование включает следующие этапы.

1. Расчёт базовых (средних) значений факторов

(4)

В нашем случае

;

2. Определение интервалов варьирования факторов

; (5)

Для наших данных

;

3. Расчёт кодированных значений факторов

(6)

В нашем случае

; ;

;

Z₂

Матрица планирования для кодированных факторов приведена в табл. 2.

3

4

+1

Таблица 2

i	Z1	Z1 Z2
1	-	+1 -1 -
2	+	1 2 -
3	-	-1 Рис. 3 +
4	+	+

При записи матрицы планирования единицы опускаются, сохраняются только знаки (±). Область варьирования кодированных факторов центрируется, т. е. становится симметричной (рис. 3):

1) при k=2 2² - квадрат;

2) при k=3 2³ - куб;

3) при k³3 2^k - гиперкуб.

5. Реализация эксперимента

Перед проведением опытов объект исследования (станок, инструмент, прибор и др.) должен быть тщательно отрегулирован и настроен для устранения влияния случайных и неучтённых факторов.

Для записи условий проведения эксперимента, результатов опытов и результатов статистической обработки составляется рабочая таблица (табл. 4).

Таблица 4

							,
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	+	–	2	–	0,3	+	132	140	147	140	56	140
2	+	+	6	–	0,3	–	323	330	339	331	64	331
3	+	–	2	+	0,6	–	264	270	277	270	42	270
4	+	+	6	+	0,6	+	481	500	519	500	361	500
5	0	0	4	0	0,45	0	302	309	320	318	524 131
							327	333
bj							(1)
	310	105		75		9.7
							(2)
	-67	38		371		32

Рабочая таблица дополнительно включает 5-й опыт с координатами центра области варьирования факторов (рис 2), результаты которого используются при проверке адекватности модели по описанию центра.

Для исключения влияния медленно изменяющихся неучтенных факторов (износ инструмента, нагрев установки и др.) опыты проводятся в случайном порядке (рандомизируются).