28Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Эластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)

Док-во: Пусть тогда .

29Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

30Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в интервале (a, b); "x О (a, b) g'(x) ≠ 0 . Тогда существует точка c О (a, b) такая, что   . Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке.

Это условии необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+(x), где (x) – б.м.

Тогда y=xа + x(x), y = ( f ’(x₀)

43.(34) Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

 

=>

31. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x₀+x)= U + U = U(X₀)+U, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

x +x) = 0 в силу непрерывности.

36Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(X) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке?

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:

аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:

24. .

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При x0, dy=y’x или

= , 25= x₀, 0,12=x => f(x)= => f’(x)=1/10

5+0.1*0.12=5.012

25. ln1,09.

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При x0, dy=y’x или

ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

37.f(x)=x^3-2x^2+2x+5 разложить по целым степеням (х-2). T=x-2. X=t+2 g(t)=f(x)=(t+2)^3-2(t+2)^2+2(t+2)+5= =…=a0+a1t+a2t^2+a3t^3 f(x)=a0+a1(x-2)+a2(x-2)^2+a3(x-2)^3

38.f(x)=e^x по степеням (х+1) до (х+1)^3 x+1=t, x=t-1 g(t)=f(x)=e^(t-1)= 1/e *e^t=1/e (1+t/1!+t^2/2!+t^3/3! +0(t^3))=e^(-1) + e^(-1) *(x-1)/1!+ e^(-1) (x+1)^2/2!+e^(-1)(x+1)^3/3!+o(x+1)^3

39.найти многочлен тейлора Р3(х) в 1, если f(1)=5, f’(1)=-1, f’’(1)=4, f’’’(1)=3 P3(x)=f(1)+f’(1)/1! (x-1) +f’’(1)/2! (x-1)^2 + f’’’(1)/3! (x-1)^3 - подставить