11. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.
12. Монотонность
Пусть имеется множество X, на котором введено отношение порядка.
Последовательность
элементов
множества X
называется неубывающей,
если каждый элемент этой последовательности
не превосходит следующего за ним.
—
неубывающая
Последовательность элементов множества X называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
— невозрастающая
Последовательность элементов множества X называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
—
возрастающая
Последовательность элементов множества X называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
—
убывающая
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
14. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.
1) Алгебраическая сумма двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен сумме пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.
lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn + Уn) = a + b.
2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.
bn = (-1)^(n+1): 1; -1; 1; -1…- расход.
lim (n→∞) (an + bn) = 0
16.Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.
1) Произведение двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен произведению пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.
lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn * Уn) = a * b.
2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.
bn = -1/2, 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4: (-n/ n + 1)ⁿ
lim (n→∞) (an * bn) = 1 – сход. (1/2, 1/2, 2/3, 2/3…).
4. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.
1) Алгебраическая сумма двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен сумме пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.
lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn + Уn) = a + b.
2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.
bn = (-1)^(n+1): 1; -1; 1; -1…- расход.
lim (n→∞) (an + bn) = 0
5 Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.
1) Произведение двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен произведению пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.
lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn * Уn) = a * b.
2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.
bn = -1/2, 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4: (-n/ n + 1)ⁿ
lim (n→∞) (an * bn) = 1 – сход. (1/2, 1/2, 2/3, 2/3…).
6. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0. Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε.1/n, 1/n^2
7Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim(n→∞) √n + 12 = +∞.
2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).
3) √n + 12 > A => √n + 12 > 0 => lim (n→∞) √n + 12= +∞; N = [A² -12] + 1.