1. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу 3; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.

Число а называется пределом числовой послед-и {Xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N из множества Ñ такой, что для любого n ≥ N выполняется неравенство: | Xn – a | < ε

√ ε > 0, сущ. N є Ñ, √ n ≥ N => | Xn – a | < ε

А) Xn = (9n+1)/n, lim (n→∞) (9n+1)/n = 9

б) Xn = (-1)ⁿ - ограничена (-1), не имеет предела

2, 4. Докажите, исходя из определения предела послед-и, то lim (n→∞) 6n/n+7 = 6.

| Xn – a | < ε |6n/n+7 - 6| < ε, |-42/n+7| < ε, 42/n+7 < ε, n+7/42 >1/ε, n> (42-7ε)/ε, N = [42/ε - 7]

что lim (n→∞) 2n/n+4 = 2.

| Xn – a | < ε

|2n/n+4 - 2| < ε, |-8/n+4| < ε, 8/n+4 < ε, n+4/8 >1/ε, n > (8 - 4ε)/ε, N = [8/ε - 4] +1

3. Дана последовательность , 7,01 X, 77,02 X, 777,03 X...

Определите, чему равен еѐ предел?

5,6,7. Дайте определение ограниченной послед-и (снизу, неограниченной, сверху). Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

ограниченная

ПРИМЕР:

Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

ограниченная сверху

ПРИМЕР

Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

ограниченная снизу

ПРИМЕР:

Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

неограниченная

ПРИМЕР: Предел послед., огранич. сверху числом 6, не может быть равным 6,02, но может быть равным 5,98, так как мы можем брать только числа меньше 6 (6≥Xn ).

8. Сходящаяся

последовательность имеет только один предел.

От противного Предп, что некоторая послед-ь {Xn} имеет 2 разл предела а и b, a ≠ b.

Выберем столь малые окрестности т. a и b, чтобы они не имели общ точек. Т.к. lim Xn = a, все Xn, начиная с нек номера n1, содержатся в выбран окрестности т. а; точно так же из lim Xn = b, следует, что все Xn, начиная с нек номера n2, содержатся в выбранной окрестности т. b. Положим, n0 = max {n1, n2}. Тогда числа Xn с номерами n≥ n0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек.

9, Сходящаяся

последовательность ограничена.

Доказательство: Зафиксируем е>0. Т.к. хn сходится, то с нек. N0 выполняется a-e<xn<a+e Это значит, что множ. таких хn, что n>n0 огр. С др. стороны множество n, таких, что n<=n0 конечно, т.е ограничено =>объединение этих множ-в ={xn,n€N} тоже огр.

10,12. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim(n→∞) √n + 12 = +∞.

2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).

3) √n + 12 > A => √n + 12 > 0 => lim (n→∞) √n + 12= +∞; N = [A² -12] +