4. Задача 3

Задача 3:

На рисунке  , прямые m и n – биссектрисы углов 1 и 2. Докажите, что  .

Рис. 7

Доказательство:

Из того, что  , по свойству параллельных прямых вытекает, что   .

Следовательно, углы 3, 4, 5, 6 тоже будут равны между собой, как половинки равных углов.

Тогда из того, что  , по первому признаку параллельности прямых   , что и требовалось доказать.

Домашнее задание 

1. Докажите, что биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых параллельны.

2. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой так, что сумма двух из полученных восьми углов равна 240 . Найдите меры всех образованных углов.

3. Через точку, не лежащую на прямой a, проведено три прямые. Докажите, что по крайней мере две из них пересекают прямую a.

Урок 3: Повторение. Треугольники.

На этом уроке мы повторим основные понятия, пройденные в 7 классе. К ним относятся: важнейшая геометрическая фигура – треугольник, его свойства, признаки равенства треугольников. Для повторения основных фактов, связанных с треугольниками, нам необходимо будет вспомнить понятия, возникающие при рассмотрении пересечения секущей двух параллельных прямых, такие как накрест лежащие, односторонние, соответственные и вертикальные углы. Исходя из этих понятий, мы повторим теоремы о сумме углов треугольника и о внешнем угле треугольника. В ходе урока рассмотрим примеры.

1. Признаки равенства треугольников

Начнем с определения важнейшей фигуры в курсе геометрии – треугольника.

Определение. Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые соединяют эти точки.

Одним из основных умений в работе с треугольниками является умение их сравнивать, а для этого необходимо владеть признаками равенства треугольников. Может возникнуть вопрос: зачем уметь определять, равны треугольники или нет? Дело в том, что в случае равенства треугольников можно утверждать не только о равенстве их соответствующих сторон и углов, а и о равенстве всех остальных элементов: биссектрис, медиан, высот и т.д. А это уже достаточно объемная информация, которая может оказаться полезной в том или ином случае.

Определение. Две фигуры равны, если их можно совместить при наложении.

Первый признак равенства треугольников (по углу и прилежащим сторонам) (см. Рис. 1).

Два треугольника равны, если угол и две прилежащие к нему стороны одного треугольника равны соответственно углу и двум прилежащим к нему сторонам другого треугольника.

.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам) (см. Рис. 2).

Рис. 2.

Второй признак равенства треугольников

Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам) (см. Рис. 3).

Рис. 3.

Третий признак равенства треугольников

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника.

.

Вспомним три признака равенства треугольника: мы можем видеть, что, используя небольшое количество фактов о двух треугольниках, можно получить достаточно много информации о равенстве всех их элементов.

Свойства треугольников, которые мы повторим в дальнейшем, будут связаны со свойствами параллельных прямых.