1. Повторение определения, свойств и признака параллелограмма

Сегодня мы основное внимание уделим задачам на параллелограмм. Для этого нам необходимо владеть определением параллелограмма, его свойствами и признаками. Повторим эти факты, обобщим и структурируем их.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

 

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм.   параллелограмм.

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник –параллелограмм.   параллелограмм.

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм.   параллелограмм.

Рис. 4. Третий признак параллелограмма

2. Задачи на параллелограммы

Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.

Пример 1. В параллелограмме   проведены биссектрисы   и  , которые пересекаются в точке  . Найти  .

Решение. Изобразим Рис. 5.

Рис. 5

Обозначим для удобства:  . Следовательно,   поскольку   и   биссектрисы.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника  .

Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне:  . Тогда:

.

Ответ.  .

Пример 2. Прямая  , проведенная через середину   стороны   параллельно стороне   треугольника   пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что   – это середина  .

Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем  .

Рис. 6

Рассмотрим четырехугольник  :

 параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон  , но по условию еще известно, что  , следовательно,  .

Рассмотрим треугольники   и  :

 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что  . Это означает, что точка   является серединой стороны  . Что и требовалось доказать.

Доказано.

Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях. 

Домашнее задание

1. В параллелограмме     см,   см, биссектрисы углов   и   пересекают сторону   в точках   и  . Найдите длину отрезка  .

2. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен  . Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.

3. ^*    Через середину   диагонали   параллелограмма   проведена прямая, которая пересекает стороны   и   в точках   и   соответственно. Докажите, что четырехугольник   параллелограмм.

Урок 10: Прямоугольник

На данном уроке мы будем рассматривать частный случай параллелограмма – прямоугольник. Мы введем его основные свойства, докажем теорему о равенстве диагоналей прямоугольника и сформулируем признак прямоугольника. Затем решим достаточно много задач, которые связаны с этой фигурой.