Властивості перетворення Фур'є

Під властивостями перетворення Фур'є розуміється взаємна відповідність трансформацій сигналів і їх спектрів. Добре знання властивостей перетворення Фур'є дозволяє передбачати приблизний (а іноді і точний) вид спектру аналізованого сигналу і таким чином контролювати правдоподібність результату, що видається при обчисленнях на комп'ютері.

У цьому розділі ми розглядатимемо два абстрактні сигнали, f(t) і g(t), і вважати, що їх спектральні функції рівні F(ω) і G(ω).

1. Лінійність

Перетворення Фур'є є лінійним інтегральним перетворенням. Сенс властивості лінійності можна сформулювати так: спектр суми дорівнює сумі спектрів. Говорячи математичною мовою, лінійна комбінація сигналів має спектр у вигляді такої ж (з тими ж коефіцієнтами) лінійної комбінації їх спектральних функцій (густин):

якщо s(t) = αf(t) +β g(t), тоді S(ω) = αF(ω) + βG(ω).

2. Затримка

А тепер подивимося, як позначається на спектральній функції затримка сигналу в часі. Отже, нехай τ - час затримки: якщо s(t) = f(t - τ) тоді спектральна функція зміниться таким чином:

.

Результат показує, що спектр вихідного сигналу виявився помноженим на комплексну експоненту виду . Таким чином, амплітудний спектр сигналу не змінюється (оскільки модуль такої комплексної експоненти дорівнює 1; до того ж здоровий глузд підказує, що співвідношення між амплітудами спектральних складових із-за зсуву сигналу в часі змінитися не повинно). Фазовий спектр набуває додаткового доданку , який лінійно залежить від частоти.

ЗАУВАЖЕННЯ

Якщо в результаті якого-небудь перетворення сигналу його спектр множитися на деяку не залежну від перетворюваного сигналу функцію, це означає, що таке перетворення може бути виконане лінійною системою з постійними параметрами. Мова про системи цього класу піде на наступних заняттях.

3. Зміна масштабу осі часу

Розглядаючи конкретні приклади, ми вже вказали загальне на практиці правило: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр. Тепер поглянемо та це правило з боку строгих теоретичних позицій. Якщо змінити тривалість сигналу f(t), зберігаючи його форму, то новий сигнал s(t) слід записати як s(t)=f(at).

При сигнал стискується, при - розтягується, якщо , додатково відбувається дзеркальне відображення сигналу відносно вертикальної осі. Подивимося, як таке перетворення позначається на спектрі:

.

Отже, зміна тривалості сигналу призводить до зміни ширини спектру в протилежний бік (аргумент t на а множиться, а ω - ділиться) у сполученні із збільшенням (при розтягуванні, а < 1) або зменшенням (при стискуванні, а > 1) рівня спектральних складових.

Отримана формула справедлива для а > 0. При а < 0 використана заміна змінної t на аt викличе перестановку меж інтегрування і, як наслідок, зміну знаку у результаті:

, а < 0 .

Об'єднуючи обидва випадки, можна записати

У окремому випадку а=-1 формула дає наступне:

.

Отже, дзеркальне відображення сигналу відносно початку відліку часу призводить до дзеркального відображення спектру відносно нульової частоти. Для дійсного сигналу це відповідає комплексному сполученню спектру.

ЗАУВАЖЕННЯ

В даному випадку результат не зводиться до множення вихідного спектру на деяку функцію. У відповідності з попереднім зауваженням це означає, що зміна тривалості сигналу не може бути здійснена лінійною системою з постійними параметрами.