Вибір частоти дискретизації за допомогою функції відліків.

Теорема Котельнікова (подаю без доведення): довільний сигнал, безперервний спектр якого не містить частот вище , може бути повністю відновлений, якщо відомі відлікові значення цього сигналу, узяті через рівні інтервали часу Теорема Котельникова встановлює принципову можливість повного відновлення детермінованого сигналу з обмеженим спектром і вказує граничне значення кроку (інтервалу) дискретизації, при якому таке відновлення можливе.

Додаток.

Доведення теореми. Нехай функція , що описує сигнал, і дискретизується, має обмежену спектральну густину , причому

при , (9)

де найбільша частота в спектрі сигналу . Використовуючи зворотне перетворення Фур'є з урахуванням співвідношення (9), запишемо:

. (10)

Для будь-яких моментів часу, наприклад , де будь-яке ціле число, функція набуває значень

. (11)

Розглядаючи спектральну щільність як функцію частоти з періодом , і періодично продовжуючи її з цим періодом, розкладемо в ряд Фур'є на інтервалі частот :

(12)

де коефіцієнти розкладання дорівнюють

(13)

Порівнюючи (11) і (13), бачимо, що , звідки визначаємо:

(14)

Виразимо через відліки початкової функції :

(15)

Оскільки підсумовування ведеться як по позитивних, так і по від’ємних числах , знак перед у виразі (15) можна змінити на зворотний:

. (16)

Підставивши (16) у вираз (10), визначимо значення початкової функції у будь-який момент часу:

(17)

Враховуючи збіжність ряду Фур'є, змінимо порядок підсумовування і інтегрування:

. (18)

У отриманому вираженні вичислимо інтеграл:

(19)

Підставивши результат обчислення інтеграла в (18), остаточно отримаємо

. (20)

Отже, безперервна функція з обмеженим спектром може бути представлена безліччю своїх значень (відліків), узятими в моменти часу .

Вираз (20) є рядом Котельникова, в якому роль коефіцієнтів виконують відліки функції , а базисними є функції виду

. (21)

Базисні функції називають функціями відліків.

Властивості функцій відліків.

1. Оскільки при будь-яких цілих числах і справедливі співвідношення , то очевидно

(22)

Кожна з функцій має необмежену протяжність в часі і досягає свого найбільшого значення, рівного 1, в моменти часу . Відносно цього моменту часу функція симетрична. У будь-які інші моменти часу, кратні , функція перетворюється на нуль. Загальний вигляд функцій відліків і формування сигналу на виході відновлювального фільтру приведені на рис 2.3. Завдяки властивості (22) сигнали з обмеженим спектром можуть бути представлені своїми дискретними відліками без втрати інформації.

2. Функції відліків ортогональні з вагою 1 на нескінченно великому інтервалі часу

. (23)

Кожну функцію відліку можна розглядати як реакцію (відгук) ідеального фільтру нижніх частот з частотою зрізу на дельта-імпульс, що приходить у момент часу і має площу, яка дорівнює .

Рис 2.3. Формування сигналу на виході відновлювального фільтру

Практичні аспекти використання теореми Котельникова.

Важлива особливість теореми Котельникова полягає в її конструктивному характері: вона не лише вказує на можливість розкладання сигналу у відповідний ряд, але і визначає спосіб відновлення безперервного сигналу, заданого своїми дискретними значеннями (відліками). Очевидно, з її допомогою може бути вибраний оптимальний крок дискретизації реального сигналу і оцінена похибка дискретизації, що виникає при цьому. Проте використання теореми як точного твердження по відношенню до реальних сигналів натрапляє на ряд принципових труднощів. По-перше, реальний сигнал має кінцеву тривалість і, отже, має необмежений спектр. Проте через реальні властивості джерел сигналів і обмеженості смуги пропускання реальних приладів і систем спектр сигналу з тією або іншою мірою точності можна вважати обмеженим деякою граничною частотою. Найчастіше граничне (граничне) значення частоти визначають на основі енергетичного критерію, згідно з яким практичну ширину спектру сигналу вибирають так, щоб в ній була зосереджена значна частина енергії сигналу. Для цього використовують рівність Парсеваля, що дозволяє визначити енергію сигналу або через функцію , що описує реальний сигнал тривалістю , або через модуль її спектральної густини

. (2.16)

Практична ширина спектру сигналу, зосереджена в діапазоні частот від 0 до деякого значення , визначається із співвідношення

. (2.17)

Тут - гранична частота, що визначає верхнє значення спектру сигналу; - коефіцієнт, досить близький до 1 (на практиці його значення вибирають в інтервалі від 0,9 до 0,998 залежно від вимог до якості відтворення сигналу). Значення означає, що в смузі частот від до міститься 99 % енергії сигналу. Значення граничної частоти знаходять, вирішуючи трансцендентне рівняння (2.17).

Обмеження спектру реального сигналу, природно, призводить до спотворення сигналу. Таким чином, відновлення обмеженого в часі сигналу по відліках відповідно до теореми Котельникова за умови примусового обмеження спектру сигналу можливо тільки приблизно. Точність такого наближення може бути оцінена як абсолютним значенням похибки, званою енергією похибки

, (2.18)

так і відносною похибкою: , де . (2.19)

Похибка дискретизації виникає не лише за рахунок примусового обмеження спектру, але і за рахунок кінцевого числа відліків на інтервалі тривалість сигналу , якій відповідно до теореми Котельникова буде . Ця складова є наслідком зневаги вкладом нескінченного числа функцій відліків, відповідних вибіркам за межами інтервалу . Для реальних сигналів теорему Котельникова слід розглядати як наближену:

. (2.20)

Не дивлячись на вище перелічені труднощі, теорема Котельникова (у зарубіжних джерелах - теорема Найквіста) широко використовується в процесі перетворення аналогових сигналів в цифрову форму.

Гетьманов В.Г. в [6] наводить приклад, який ілюструє необхідність, крім забезпечення потрібного періоду дискретизації, узгодження максимального значення сигналу та робочого діапазону АЦП при квантуванні сигналу.

Аналого-цифрові перетворювачі здійснюють перетворення послідовності кусочно-постійної напруги від мультиплексора в послідовність цифрових кодів . Слід зазначити суттєві для формування систем ЦОС параметри АЦП: 1) t_АЦП час перетворення АЦП аналогової напруги V₂(t) в цифровий код; очевидно, повинна виконуватися нерівність t_АЦП <Δt_k (час комутації); 2) L_A - число розрядів цифрового коду з виходу АЦП (не враховуючи знаку); 3) - робочий діапазон АЦП по вхідній напрузі; цей параметр встановлюється стандартним рядом значень - частіше усього = 1 і 5 В.

При роботі АЦП слід забезпечувати узгодження (приблизну рівність) максимального значення напруги сигналу і діапазону . Розглянемо необхідність такого узгодження. З цією метою моделювався синусоїдальний сигнал виду , i=0, 1, ..., N - 1; T=0,01 с; N = 1000; f =0,1 Гц і двома амплітудами А₁ =4,32 В, А₂=0,65 В. Для АЦП були вибрані параметри = 5 В, L_A = 4, для яких =0,33 В.

Дискретність по рівню вносить похибки в інформаційний сигнал. Неважко підрахувати величину , відповідну ціні одного розряду АЦП, яка дозволяє орієнтовно оцінити величину похибки від дискретизації по рівню.

На рис. 2.2 подані графіки модельних синусоїдальних сигналів, що дискретизують по рівню, кусочно-постійна лінія з індексом 1 відповідає А₁= 4,32 В, лінія з індексом 2 відповідає А₂ = 0,65 В. Через те, що в другому випадку амплітуда синусоїди істотно менше величини _АЦП АЦП, перетворений синусоїдальний сигнал на виході є дворівневою послідовністю.

Рис. 2.2. Результати дискретизації синусоїдальних сигналів