18. Границя функції у точці та у нескінченності. Однобічні границі.

Спробуємо тепер означення границі послідовності, яке було дано у п.9, узагальнити на випадок функції . Візьмемо деяку послідовність значень аргумента , яка збігається до числа , тобто . Тоді відповідно значення функції також будуть утворювати деяку послідовність

Означення. Число називається границею функції при (або у точці ), якщо для будь якої послідовності значень аргумента , такої, що , і , відповідна послідовність значень функції збігається до числа , тобто .

У цьому випадку ми пишемо:

.

Наведене означення називається означенням функції на мові послідовностей, або означенням Гейне.^*

Існує ще одне означення границі функції, яке полягає у наступному. В п.8 ми інтуїтивно ввели поняття границі функції, як деякого числа , до якого «наближаються» (або, як кажуть у математиці, прямують) значення функції , якщо значення аргументу «наближаються» (прямують) до числа . Оскільки у нас з’явилися терміни «наближаються», «близько», треба ввести деяку міру цієї близькості, а саме міру близькості аргументу до числа і значення функції до числа . Позначимо першу з цих мір як . Це буде означати, що

, (18.1) тобто значення аргументу потрапляють в -окіл точки . Другу з цих мір позначимо як . Це буде означати, що

, (18.2) тобто значення функції потрапляють в -окіл точки . За рахунок чого може здійснитися друга нерівність? Очевидно, за рахунок достатнього ступеня близькості до , і цей ступінь близькості, очевидно, повинен залежати від . Іншими словами за заданим числом ми повинні знайти число , яке залежить від , таке, що виконання нерівності (18.1) забезпечує і виконання нерівності (18.2). Саме цей факт виражає наступне означення.

Означення. Число називається границею функції при (або у точці ), якщо для кожного додатного числа існує таке додатне число , яке залежить від , що для будь яких значень , що задовольняють нерівність , а також , виконано нерівність .

У цьому випадку пишемо: .

У символьній формі запису це означення має такий вигляд:

.

Саме таку форму ми будемо використовувати у подальшому.

Наведене означення називається означенням границі функції на мові « », або означенням Коші . Геометричну його ілюстрацію наведено на рис. 38. З нього видно, що якщо значення аргументу належать множині , тобто , то значення функції належать проміжку , тобто .

Рис. 38.

Теорема. Означення границі функції за Гейне та за Коші еквівалентні.

Доведення. Нехай у сенсі Коші. Тоді . Оберемо довільне і розглянемо довільну послідовність значень аргументу таку, що . Тоді для цього знайдеться номер такий, що виконано . А тоді . Таким чином вийшло, що виконано: . Це означає, що , тобто в сенсі Гейне.

Нехай тепер в сенсі Гейне. Покажемо, що число є границею функції в сенсі Коші. Припустимо, що це не так. Тоді : . Побудуємо послідовність значень аргументу таку, що . Тоді , тобто:

,

.

В той же час:

: .

Якщо у якості взяти , то отримуємо протиріччя. Отже в сенсі Коші.

Теорему доведено.

Приклади.

1. Доведемо, що . Використаємо означення Коші. Задамо довільне і розглянемо:

.

Нехай тепер . Тоді . Вимагатимемо, щоб останній вираз був менше, ніж (тоді тим більш буде менше, ніж ), тобто . Розв’язком цієї квадратної нерівності (враховуючи, що ) є інтервал . Таким чином, якщо ми оберемо (тобто за заданим знайшли ), то забезпечимо виконання нерівності . У якості можна взяти будь яке число з інтервалу , наприклад .

2. Довести, що .

Знову використаємо означення Коші. Задамо довільне і розглянемо :

.

Якщо , то, обираючи (наприклад ), забезпечуємо виконання нерівності , що й треба було встановити.

3. Доведемо, що функція не має ніякої границі при . Скористаємось тепер означенням Гейне. Розглянемо послідовність , де . Очевидно, що . В той же час: .

Тепер розглянемо іншу послідовність , де . Знову . Але цього разу .

Отже, для двох різних послідовностей значень аргумента, прямуючих до нуля, відповідні послідовності значень функції мають різні границі – 0 і 1. І тоді, згідно з означенням Гейне, наша функція не має границі при .

Вище ми вже відмічали, що не слід змішувати поняття границі функції у точці і значення функції у цій точці. Саме тому в означенні границі функції є суттєва умова: треба, щоб було ; або, що те ж саме, . Приклад 2 показує, що границя може існувати і тоді, коли функція взагалі не визначена у точці , Але, навіть у тому випадку, коли функція визначена у точці , її границя у цій точці зовсім не обов’язково дорівнює значенню функції у цій точці. Розглянемо детальніше приклад з п.8.

Доведемо, що . Задамо і розглянемо для будь яких :

тобто у якості можна взяти будь яке додатне число. Разом з цим .

Може бути і така ситуація, коли функція визначена у точці , а границі функції у цій точці не існує. Розглянемо, наприклад, функцію:

Ця функція визначена у точці , а границі у цій точці не існує (див. приклад 3).

В наведених означеннях границі функції значення аргументу прямувало до скінченого числа . Але ці значення можуть прямувати і до нескінченності (саме така ситуація спостерігається, наприклад, тоді, коли у якості функції розглядається послідовність). Тоді означення функції приймає наступний вид:

Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь якого числа існує таке число , що з нерівності випливає нерівність .

Тоді пишемо:

.

Це означення за змістом близько до означення границі послідовності, тому особливих пояснень не вимагає.

Сама границя функції теж може бути нескінченною.

Означення. Кажуть, що границя функції при дорівнює нескінченності, якщо для будь якого додатного числа існує таке додатне число , що виконання з нерівності випливає нерівність .

Тоді пишемо: .

Тобто за рахунок достатньої близькості аргументу до числа значення функції може бути зроблено за модулем більшим, ніж будь яке наперед задане число .

У цьому випадку функція називається нескінченно великою у точці .

Приклад. Довести, що функція є нескінченно великою у точці .

Задамо довільне і розглянемо:

.

Якщо , то . Вимагатимемо, щоб , тобто . Наприклад, можна взяти . Тоді за даним ми знайшли таке, що з нерівності випливає нерівність , тобто .

Границя функції може дорівнювати не просто нескінченності, а нескінченності з певним знаком.

Означення. Кажуть, що , якщо .

Наприклад: .

Завдання. Самостійно сформулюйте означення того що функція має нескінченну границю при , тобто .

Введемо поняття однобічних границь функції.

Означення. Число називається границею зліва функції при , якщо .

У цьому випадку пишемо: .

Означення. Число називається границею справа функції при , якщо .

У цьому випадку пишемо: .

Тобто у першому означенні прямує до , залишаючись весь час меншим, ніж , а у другому означенні – залишаючись весь час більшим, ніж . Границі справа і зліва функції у точці називаються однобічними границями функції у цій точці.

Приклади.

1.

Покажемо, що . Спочатку розглянемо випадок . Задамо довільне і за цим знайдемо таке, що з нерівності буде випливати нерівність . Дійсно, якщо , то , тобто у якості можна взяти будь яке додатне число. Таким чином . Аналогічно показуємо, що .

2. Покажемо, що , а .

Нехай спочатку . Задамо довільне і покажемо, що існує таке , що з нерівності буде випливати . Дійсно, оскільки , то , якщо тільки . А звідси випливає, що , що й треба було встановити. Аналогічно доводиться, що .

Той факт, що , геометрично ілюструється на рис. 39.

Рис. 39.

Теорема. Рівність має місце тоді і тільки тоді, коли у точці існують однобічні границі, і вони дорівнюють .

Доведення. Нехай спочатку . Тоді . Це означає, що нерівність справджується як для , так і для . А це згідно означенню однобічних границь означає, що .

Нехай тепер . Тоді . А також . Візьмемо . Тоді якщо , то буде виконана нерівність , що й означає, що . Теорему доведено.