17. Елементарні функції та їх класифікація. Деякі важливі типи функцій.

Означення. Елементарною функцією називається така функція, яка утворюється з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа операцій додавання, віднімання, множення і ділення, а також операції суперпозиції.

Зауважимо, що тут термін «елементарна» не означає проста. Неелементарні функції можуть бути набагато простішими, ніж елементарні. Наприклад функція

є елементарною (всі потрібні умови виконано). А функція

елементарною не є (вона задається різними виразами на різних інтервалах, а цього не передбачено в означенні елементарної функції). Неелементарними являються також, наприклад, функції (нескінченна кількість арифметичних дій), (відповідно ціла і дробова частина ), розглянута вище функція Діріхле та ін. До неелементарних відносяться також так звані спеціальні функції, які відіграють дуже важливу роль у природознавстві. Завдяки фізикам, в математику увійшли й функції більш складної природи – так звані узагальнені функції.

Елементарні функції розділяються на наступні основні класи.

1. Многочлени (або поліноми). Многочленом (поліномом) степеня називається функція вигляду:

.

Дійсні числа називаються коефіцієнтами многочлена. Зокрема, якщо , то . Якщо , то – лінійна функція. Якщо , то – квадратний тричлен.

2. Раціональні функції. Це функції, які є відношенням двох многочленів (не обов’язково однакового степеня):

.

Наприклад:

.

Зокрема, многочлени являються частинним випадком раціональних функцій ( ).

3. Ірраціональні функції Це функції, які утворюються за допомогою скінченого числа арифметичних дій та операцій суперпозиції з раціональних функцій та степеневих з раціональними показниками. Наприклад:

.

Раціональні та ірраціональні функції називаються алгебраїчними. Графіки цих функцій відповідно називаються алгебраїчними кривими. До них, зокрема, відносяться вже відомі вам еліпс, гіпербола і парабола (див. «Аналітична геометрія на площині»).

4. Трансцендентні функції. До цих функцій відносяться ті елементарні функції, які не являються алгебраїчними. Це, зокрема, всі тригонометричні та обернені тригонометричні функції, а також показникові та логарифмічні.

Виділимо деякі важливі типи функцій (вони стосуються не лише елементарних функцій), з якими у подальшому нам доведеться мати справу.

1. Обмежені функції.

Означення. Функція називається обмеженою на множині , якщо таке, що .

Іншими словами значення обмеженої функції не виходять за межі відрізку . З геометричної точки зору це означає, що її графік цілком лежить між прямими (рис. 35).

Рис. 35.

Одна й та ж функція на одній множині може бути обмеженою, а на іншій ні. Наприклад, функція обмежена на відрізку (на ньому ) і взагалі на будь якому відрізку числової прямої, але не обмежена на всій числовій прямій. Функція обмежена на відрізку (тут ), але не обмежена на півінтервалі . Функція обмежена на всій числовій прямій ( ).

2. Монотонні функції.

Означення. Функція називається зростаючою (спадною) на множині , якщо таких, що , виконана нерівність .

Тобто для зростаючої функції більшому значенню аргумента відповідає і більше значення функції, а для спадної більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Означення. Функція називається неспадною (незростаючою) на множині , якщо таких, що , виконано .

Тобто для неспадної функції більшому значенню аргумента відповідає не менше значення функції, а для незростаючої більшому значенню аогумента відповідає не більше значення функції. Схематичні графіки цих функцій зображено на рис. 36 ( а – зростаюча, б – спадна, в – неспадна, г – незростаюча).

Рис. 36 (а). Рис. 36 (б).

Рис. 36 (в). Рис. 36 (г).

Одна й та ж функція на одних ділянках числової прямої може бути зростаючою, а на інших спадною. Наприклад, функція спадна на і зростаюча на .

Зростаючі, спадні, неспадні та незростаючі функції називаються монотонними функціями. При цьому зростаючі та спадні функції називаються строго монотонними.

Як відмічалося в п. 16, функція має обернену тоді і тільки тоді, коли ця функція задає взаємно однозначну відповідність між множинами та . Таку властивість мають, зокрема, строго монотонні функці. Дійсно, для зростаючої функції з нерівності випливає нерівність , а для спадної з нерівності випливає нерівність . Таким чином, будь яка строго монотонна функція має обернену. При цьому, якщо функція зростає (спадає), то обернена функція також зростає (спадає).

3. Парні та непарні функції.

Означення. Функція називається парною (непарною), якщо.

З означення випливає, що область визначення парної чи непарної функції обов’язково симетрична відносно точки . Графік парної функції симетричний відносно осі (рис. 37 (а)), а непарної – відносно початку координат (рис. 37 (б)).

Рис. 37 (а). Рис. 37 (б).

З основних елементарних функцій парними є, наприклад, , , , а непарними , , , , .

Не слід вважати, що, якщо функція не є парною, то вона непарна. Існує скільки завгодно функцій, які не являються ні парними, ні непарними. Наприклад тощо.

Для побудови графіка парної чи непарної функції достатньо побудувати її графік тільки у правій півплощині, а потім відобразити симетрично відносно осі (для парної функції), або відносно початку координат (для непарної функції).

4. Періодичні функції.

Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке , що виконано: .

Число називається періодом функції. Очевидно, що періодом буде також будь яке число виду . Найменший з додатних періодів називається основним періодом функції.

З основних елементарних функцій періодичними є тільки тригонометричні функції. Основний період функцій дорівнює , а функцій дорівнює .

Для побудови графіка функції, періодичної з періодом достатньо побудувати його на будь якому проміжку довжини (наприклад ), а потім продовжити графік на всю вісь, повторюючи його на кожному проміжку довжини . Якщо, крім того, функція парна, чи непарна, то достатньо побудувати її графік на інтервалі .