6. Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения

6.1. Разобрать решение, заполнив пропуски

Задача 1. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.

Решение.

Для того, чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы после четырех партий счет в матче был 2:2. Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех.

Если есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, а — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли, найдем, что

Задача 2. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода из строя каждого холодильника в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует:

1) не менее 4 холодильников;

2) не менее 1 холодильника.

Решение.

Поскольку все холодильники имеют одинаковую вероятность выхода из строя в течение года , то используем формулу Бернулли.

1) Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не менее 2 холодильников, равна

2) Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не менее 1 холодильника (хотя бы один), равна

Задача 3.Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которое товаровед признает годными к продаже.

Решение.

По условию , , значит

Найдем наивероятнейшее число , годных к продаже образцов, из двойного неравенства:

.

Подставим:

или

Т.к. - целое число, то наивероятнейших чисел будет два:

= и =

Задача 4. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25.

Решение.

По условию , , значит

Воспользуемся двойным неравенством: .

Подставим данные задачи, получим систему неравенств, для определения неизвестного числа:

Из первого неравенства найдем

Из второго неравенства найдем

Значит, искомое число испытаний, должно удовлетворять двойному неравенству:

Задача 5. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число поврежденных при транспортировке изделий составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено:

а) два изделия;

б) менее трех изделий.

Решение.

а) По условию достаточно велико, а .

Значит удобно воспользоваться формулой Пуассона: .

б) Вероятность того, что событие наступит менее трех раз: .

Используя формулу Пуассона, получим

Искомая вероятность:

Задача 6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Решение.

По условию , , , значит

Т. к. – достаточно большое число, а то

воспользуемся локальной теоремой Лапласа .

, где

Т. к. функция - четная, то .

По таблице значений (например, см. Учебные карты Часть3 приложение 1) найдем

Искомая вероятность равна:

Задача 7. Вероятность выхода из строя за время одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, за время из 100 выйдут из строя менее 28 конденсаторов.

Решение.

По условию задачи требуется найти .

достаточно велико,

поэтому воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: ,

где .

о условию , значит ,

Вычислим и , определяемые данными задачи:

По таблице значений (например, см. Учебные карты Часть3 приложение 2) найдем

Т. к. функция Лапласа нечетная, то .

Искомая вероятность равна:

6.2. Решить задачу

Задача 8. Вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,992. Найти вероятность двух попаданий при пяти выстрелах.

Решение.

Задача 9. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 49 независимых испытаниях, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30.

Решение.

Задача 10. Вероятность того, что станок-автомат производит годную деталь, равна . За смену было изготовлено 280 деталей. Определить вероятность того, что среди них 20 бракованных.

Решение.

Задача 11. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний постоянна и равна . Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 1470 и не более 1500 раз,

б) не менее 1470 раз,

в) не более 1469 раз.

Решение.