3. Формула полной вероятности и формула Байеса

3.1. Дописать формулировку теоремы и соответствующие формулы.

Формула полной вероятности

Вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) образующих полную группу событий, равна …

где

Здесь — вероятность -ой гипотезы, а — условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы.

Формула Байеса

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) образующих полную группу событий.

Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса:

где

4.1. Разобрать решение, заполнив пропуски

Задача 1. Пешеход, идущий из некоторого пункта в пункт , стоит на разветвлении дорог и выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог изображена на рис. 11. Какова вероятность того, что пешеход попадет в пункт .

Решение.

Из схемы видно, что путь пешехода обязательно проходит через один из промежуточных пунктов .

Обозначим через событие, состоящее в том, что при своем движении пешеход попадет в пункт . События образуют полную группу и очевидно, что они равновероятны (по условию один из путей выбирается произвольно). Поэтому

Если пешеход попадет в пункт , то он сможет прийти в пункт , выбрав одно из трех равновозможных направлений движения.

О бозначим через событие, состоящее в том, что пешеход приходит в пункт . Тогда условная вероятность прийти в из пункта равна (по классическому определению вероятности).

Аналогично

По формуле полной вероятности

Задача 2. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение.

Событие – мишень поражена, из наудачу взятой винтовки.

Из условий задачи , очевидно, что с рассматриваемым событием связаны гипотезы:

– взята винтовка с оптическим прицелом.

– взята винтовка без оптического прицела.

Найдем вероятности гипотез (по классическому определению вероятности):

Проверим:

Гипотезы и образуют полную группу событий.

По условию задачи условные вероятности события A относительно выдвинутых гипотез:

Искомая вероятность равна:

Задача 3. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 % вопросов, остальные – на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.

Решение.

Будем считать гипотезами

данный отвечающий студент является отличником,

– студент принадлежит ко второй группе,

– студент принадлежит к третьей группе.

Тогда вероятности гипотез равны (по классическому определению вероятности):

Проверим:

Понятно, что событие – правильный ответ на первый экзаменационный вопрос – может наступить совместно с одним из трех несовместных событий .

По условию задачи требуется найти вероятность события при условии, что произошло событие , т.е. .

Применим формулу Байеса: .

Для этого из условия задачи найдем условную вероятность события при осуществлении каждой гипотезы и полную вероятность события :

Следовательно,

4.2. Решить задачу

Задача 4. В составе думы представлены3 партии (по 100, 150, 50 человек от 1-ой, 2-ой и 3-й партий соответственно). Кандидата на должность спикера поддерживают 50% представителей первой партии, 70% - второй партии и 10% - третьей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный член думы поддерживает выдвинутую кандидатуру на должность спикера думы?

Решение.

Задача 5. Трое рабочих за смену изготовили 60 деталей. Производительность рабочих относится как 1:2:3. Первый рабочий изготавливает в среднем 95% годных деталей, второй 85% и третий 90%. Найти вероятность, того, что наудачу взятая из числа изготовленных за смену деталей низкого качества.

Решение.

5.1. Заполнить пропуски и записать соответствующие формулы

Формула Бернулли

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), равна:

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит не менее и не более раз, равна:

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит хотя бы один раз, равна:

Теорема Пуассона

Если существует , то справедливо приближение Пуассона

Практическое использование формулы допустимо при , .

где

Локальная теорема Лапласа

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна:

Функция называется функцией Гаусса.

Свойства :

1. .

2. четная, т.е.

3. .

4. Асимптота: при .

Практическое использование формулы допустимо при .

где

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит не менее и не более раз, приближенно равна:

Функция называется функцией Лапласа.

Свойства :

1. .

2. нечетная, т.е.

3. .

4. Асимптота:

при и

при .

Оценка погрешности при использовании формулы показывает, что эта формула обеспечивает хорошую точность уже при значениях .

где

Наивероятнейшее число наступлений события

Число наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна называется наивероятнейшим - , если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытания.

Наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства:

причем:

1. если число - дробное, то существует единственное наивероятнейшее число .

2. если число - целое, то существуют два наивероятнейших числа: и .

3. если число - целое, то наивероятнейшее число: .