Определение вероятности

Вероятностью события называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта.

1.1. Записать формулу нахождения относительной частоты

Относительная частота появления события в серии опытов со случайными исходами – отношение числа опытов, в которых произошло событие, к числу всех опытов.

1.2. Записать формулу нахождения статистической вероятности события

Статистической вероятность события – постоянное число, около которого группируются относительные частоты при увеличении числа опытов.

1.3. Записать формулу нахождения вероятности события по классическому определению

Классическое определение вероятности события: отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события, к числу всех равновозможных исходов.

1.4. Записать формулу нахождения геометрической вероятности

1. Линейный случай

Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка , вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка .

2. Плоский случай

Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры . На фигуру наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры , вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно , ни от формы .

3. Пространственный случай

Пусть пространственное тело составляет часть пространственного тела . В тело наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке тела , вероятность попадания брошенной точки в тело пропорциональна объему этого тела и не зависит ни от ее расположения относительно , ни от формы .

4. Общий случай

Замечание.

В случае классического определения вероятность достоверного события равна единице , а невозможного события равна нулю. Справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).

В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

2.1. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию?

1. Опыт: подбрасывание двух игральных кубиков.

Событие – на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

2. Опыт: из урны с пронумерованными от 1 до 30 карточками вытягивается одна.

Событие – число на взятой карточке кратно 5.

3. Опыт: из букв слова «дифференциал» наугад выбирается одна буква.

Событие – извлеченная буква является гласной.

4. Опыт: наблюдается время ожидания маршрутного такси пассажиром.

Событие – время ожидания более двух минут.

5. Опыт: выбирается наудачу точка внутри квадрата.

Событие – выбранная точка попала в круг, вписанный в квадрат.

Решение.

2.2. Разобрать решение задач, заполнив пропуски

Задача1. В коробке находится 10 шаров. 3 красных, 2 зеленых, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет а) красным; б) зеленым; в) белым?

Решение.

Появление красного, зеленого или белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие , появление зеленого – событие , появление белого – событие .

Число исходов, благоприятствующих

а) событию : ,

б) событию : ,

в) событию :

А число всех исходов . Тогда в соответствии с формулами, получаем:

Задача 2. Какова вероятность, что ребенок случайно сложит слово «МАТЕМАТИКА», играя десятью кубиками, на которых написаны буквы М, М, Т, Т, А, А, А, К, И, Е?

Решение.

Можно считать, что все буквы разные, например, имеют разный цвет.

В соответствии с комбинаторными принципами для определения общего числа элементарных исходов нужно подсчитать число упорядоченных наборов из десяти букв. Мы имеем дело с числом перестановок, поэтому число элементарных исходов

Подсчитаем теперь количество способов, которыми можно набрать слово «МАТЕМАТИКА» – событие .

На первом месте может быть любой из двух кубиков с буквой «М», на втором - любой из трех кубиков с буквой «А» и т.д. Используя правило произведения, получим, что число этих способов

Поэтому

_{Ответ: .}

Задача 3. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

Решение.

Обозначим появление слова «тор» событием .

_{Пользуемся правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» - двумя способами, букву «р» - двумя способами.}

_{Общее число элементарных исходов равно:}

Тогда искомая вероятность

_{Ответ: .}

Задача 4. Даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад две точки, учащийся получит нужную прямую.

Решение.

Пусть событие – выбор искомой прямой.

Число всевозможных исходов равно количеству прямых, проходящих через заданные пять точек. Так как прямая определяется парой точек и порядок точек внутри этой пары не имеет значения, то каждая пара должна отличаться хотя бы одной точкой. Следовательно, нужно найти число сочетаний из пяти элементов по два, т.е.

Искомой является только одна пара точек, значит число благоприятных для события элементарных исходов

Поэтому

_{Ответ: .}

Задача 5. В первом ящике находится 15 бракованных и 10 годных деталей, которые тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что

1. извлеченная деталь годная (событие );

2. три извлеченные детали годные (событие );

3. из трех извлеченных деталей две годные (событие );

4. три извлеченные детали одного «достоинства» (событие ).

Решение.

В этой задаче имеем дело с конечной схемой равновозможных исходов. Поэтому возможно применение классического определения вероятности.

1. Число исходов, благоприятствующих событию : А число всех исходов:

Поэтому

Выбор трех любых деталей из общего количества можно осуществить 2300 способами:

.

2. Извлечь три годные детали из десяти возможно …………… способами:

Тогда

3. Извлечь две годные детали и одну бракованную деталь возможно (по основному правилу комбинаторики – правилу умножения) ………… … способами:

Тогда

4. Событие означает, что извлеченные детали либо годные, либо бракованные. Значит, по основному правилу комбинаторики – правилу сложения получаем, что общее число случаев, благоприятствующих событию равно

Тогда

Ответ: .

Замечание.

Задачу 5в можно решить, используя урновую схему: в урне имеется шаров, из них первого вида, второго вида. Из данной урны извлекается шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема будет обнаружено шаров первого вида и второго.

Обозначив через событие «в выборке объема имеется шаров первого вида и второго», получим что

.

Знаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по элементов, выбранных из имеющихся без учета их качественного состава.

В числителе — число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из элементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов из предметов второго типа.

Задача 6. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

Решение.

Событие – появление бракованных книг.

Из условия задачи число испытаний, в которых наступило событие равно .

А общее количество испытаний – .

Тогда относительная частота события определяется равенством .

2.3. Решить задачу

Задача 7. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение.

Событие – набраны нужные последние три цифры номера телефона.

Число исходов, благоприятствующих событию :

А число всех исходов:

_{Ответ: .}

Задача 8. Имеется пять отрезков, длины которых соответственно равны: 1, 3, 5, 7, 9 см. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков можно построить треугольник.

Решение.

Событие –

У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Найдем все такие тройки длин отрезков:

Получили, что число исходов, благоприятствующих событию :

А число всех исходов:

_{Ответ: .}

Задача 9. Брошены две игральные кости. Найти вероят­ность того, что сумма выпавших очков на верхних гранях кубиков равна 7.

Решение.

Событие –

Найдем число исходов, благоприятствующих событию это все пары цифр от 1 до 6, сумма которых равна 7:

Значит,

А число всех исходов:

_{Ответ: .}

Задача 10. При стрельбе по мишени частота попаданий 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение.

Ответ: .

Задача 11. На отрезке натурального ряда от 1 до 100 найти частоту простых чисел.

Решение.

Простое число – это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,113 ,…