2.5Система ортогональных функций нескольких переменных
Если имеется система ортогональных функций одной переменной 1(x), 2(x), то она используется для получения системы функций нескольких переменных. Можно использовать произведение функций исходной системы по следующему принципу:
1(x1,x2)=1(x1)1(x2)
2(x1,x2)=1(x1)2(x2)
3(x1,x2)=2(x1)1(x2)
4(x1,x2)=2(x1)2(x2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Аналогично можно получить и функцию трех переменных. Доказано, что полученная таким образом система функций является ортогональной.
2.6Ортогональные полиномиальные функции
2.7Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра Pi(x) получаются с использованием рекуррентной формулы
(x+1)Pk+1(x)-(2k+1)xPk(x)+kPk-1(x)=0 для k > 1
с учетом того, что
P0(x)=1, P1(x)=x.
Эти многочлены представляют собой ортогональную систему функций на отрезке -1x1.
2.8Многочлены Лагерра
Многочлены Лагерра являются ортогональными на интервале [0, +] относительно весовой функции
u(x)=e-x.
Многочлены Лагерра вычисляются по рекуррентной формуле
Lk+1(x)-(2k+1-x)Lk(x)+k2Lk-1(x)=0
при условии, что
L0(x)=1, L1(x)=-x+1.
2.9Многочлены Эрмита
Данные многочлены представляют собой ортогональную систему функций на всей числовой оси.
Эти многочлены вычисляются с помощью рекуррентного соотношения
Hk+1(x)-2xHk(x)-2kHk-1=0
при условии, что
H0(x)=0, H1(x)=2x.
Многочлены Эрмита ортогональны относительно весовой функции
Решающую функцию с использованием ортогональной системы функций записывают в обобщенном виде
Весовую функцию вносят в состав каждой
из функций
и в этом случае d(x)
можно записать как
Так как u(x) всегда положительна и является множителем в решающих функциях, то ее часто можно без ущерба для работы СРО отбросить.
2.10Контрольные вопросы
Что называется обобщенной решающей функцией
Какими методами можно отыскать значения коэффициентов линейной решающей функции
Можно ли записать нелинейную решающую функцию второго порядка в матричном виде
Чем объясняется бесконечное множество решающих функций для данной выборки образов
Почему нельзя представить решающую функцию в виде степенного ряда по формуле Тейлора
Какие функции называются ортогональными на отрезке
Что такое функционально полная система функций
Является ли система ортогональных функций линейно независимой
Как можно отыскать коэффициенты разложения решающей функции по системе ортогональных функций
Какие полиномы ортогональны на отрезке [-1, 1]
Какие полиномы ортогональны на интервале от нуля до бесконечности
Какие полиномы ортогональны на интервале отминус бесконечности до плюс бесконечности
Можно ли опустить весовую функцию в выражении для решающей функции
Каким образом можно получить ортогональную систему функций нескольких переменных
Лекция 2. Методы классификации образов с помощью функций расстояния
2.1Классификация образов сравнением с эталоном
Под классификацией понимается отнесение образов к тому или иному классу. При классификации используются те или иные меры близости или сходства.
В дальнейшем в качестве меры сходства используется расстояние от образа до эталона класса. В алгоритмах классификации применяется критерий минимума расстояния. Этот критерий применим как в случае единственного эталона класса, так и в случае множества эталонов.
Эталоном класса называется наиболее типичный представитель образов класса. Эталоном может быть образ из выборки, представляющей данный класс, а может быть не существующий, а определенный по каким-либо правилам идеализированный образ.