3. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Бесконечный числовой треугольник, построенный таким образом, что по краям каждой строки стоят единицы, а остальные числа получены при сложении двух стоящих над ними чисел предыдущей строки, называется треугольник Паскаля.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

………..

Свойства треугольника Паскаля:

1) Числа, составляющие треугольник Паскаля, представляют собой сочетания из n по m: , где n — номер строки, начиная с нулевой, а m – номер числа в этой строке, начиная с нуля. При этом = 1, , .

2) Элементы любой строки треугольника Паскаля обладают симметрией: т.е. равностоящие от концов каждой строки числа равны между собой, что подтверждается формулой: . (11)

3) Свойство треугольника Паскаля, согласно которому любое число можно получить сложением двух чисел, стоящих над ним на предыдущей строке, отражает формула: .

4) Для любой строки треугольника Паскаля справедливо равенство: сумма элементов n-й строки равна : . (12)

Формула Ньютона для степени бинома имеет вид: . (13)

Числа называют биномиальными коэффициентами. В частности:

(а + b)⁰ = 1

(a + b)¹ = 1a + 1b

(a + b)² = 1a² + 2ab + 1b²

(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ и т.д.

Некоторые свойства бином Ньютона:

1) В разложении по степеням коэффициенты n-ой степени бинома совпадают с n+1-ой строкой треугольника Паскаля.

2) Сумма коэффициентов в разложении n степени равна 2ⁿ: .

3) В разложении n степеней бинома содержится n+1 слагаемых, причем каждое слагаемое (одночлен) представляет собой произведение трех множителей: биномиального коэффициента и степеней первого и второго члена бинома. Одночлен, стоящий на k+1 месте (начиная с первого) в разложении бинома n-ой степени, можно найти по формуле:

T_k+1= a^nkb^k_. (14)

4) В разложении в многочлене показатели степени первого члена бинома уменьшаются от одного слагаемого к другому на один (от n до 0), а показатели второго члена соответственно увеличиваются на один (от нуля до n). Поэтому сумма показателей в каждом слагаемом (одночлене) в разложении бинома равна n.

5) Биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов разложения равны между собой.

При решении комбинаторных задач удобно пользоваться граф-схемой.

Упражнения

1. Решите уравнение: .

Решение: ,

, ,

,

x² - 5x – 50 = 0, x₁ = 10 или x₂ = –5. В уравнении два корня, однако, второй корень x₂ = –5 не подходит по смыслу, т.к. при отрицательных значениях мы не рассматриваем размещения и сочетания. Отсюда ответ: x = 10 .

2. Разложите по степеням .

Решение: Имеем

= .

3. Задача: «Разложить n деталей в m ящиков». Сколько вариантов таких размещений можно перебрать?

Решение: На языке функций задано соответствие между множеством X деталей (|X|=n) и множеством Y ящиков ((|Y|=m), т.е. .

Такое часто встречающееся число подсчетов вариантов называют размещением с повторением, обозначают . Т.к. каждую из n деталей можно разместить в m ящиков, то необходимо n раз умножать число m, т.е. .

4. Сколько пятизначных чисел, не превосходящих 7000 можно составить, используя только нечетные цифры?

Решение: Первый, второй, третий и четвертый разряды таких четырехзначных чисел содержит любую цифру из множества нечетных {1, 3, 5, 7, 9}, т.е. = 5⁴ = 625 цифр. Для пятого разряда можно использовать только три цифры 1, 3 и 5. По правилу произведения всего может быть 3·5⁴ = 1875 цифр.

5. Сколько различных шестизначных телефонных номеров можно составить из всех цифр так, чтобы

а) использовались любые из них;

б) цифры не повторялись;

в) использовались одинаковые цифры;

г) цифры не повторялись, но среди них не было всех одинаковых?

Решение: а) Т.к. из множества n=10 может использоваться в шестизначных телефонных номерах любые m = 6 цифр, причем порядок цифр в телефонном номере важен, то применим формулу размещений с повторениями . Тогда .

б) Т.к. из множества n=10 может использоваться в шестизначных телефонных номерах лишь m = 6 цифр, причем цифры не повторяются, но порядок цифр в телефонном номере важен, то применим формулу размещений без повторений: =151200.

в) Т.к. в телефонном номере использовались одинаковые цифры, то нас устроят только кортежи со всеми одинаковыми цифрами от 1 до 9: 111111, 222222, 333333, 444444, 555555, 666666, 777777, 888888, 999999.

г) Чтобы цифры не повторялись, но среди них не было всех одинаковых надо найти разность =151191.

6. В электронной почте имеется 10 шаблонов сообщений. Сколькими способами из них можно организовать переписку между пользователями, состоящую из пяти входящих и трёх исходящих сообщений, если известно, что использовались различные шаблоны? Как бы решалась эта задача, если бы не было последнего условия?

Решение: Применим алгоритм решения комбинаторных задач: т.к. n = 10, m = 5 + 3 = 8, причем n ≠ m, то возможно применения формулы либо для сочетаний, либо для размещений. Т.к. при переписке важно знать, кто отправил сообщение, а кто получил, то применим формулу для размещений. Т.к. каждый оправил по одному письму, то выбираем формулу для размещений без повторений:

.

Если бы не было последнего условия, то шаблоны могли повторяться. Поэтому применили бы формулу для размещений с повторениями: .

7. Студенческая команда КВН состоит из 17 человек: 12 юношей и 5 девушек. Для участия в конкурсе «Домашнее задание» из них нужно составить команду, в которой 7 человек: 5 юношей и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Применим алгоритм решения комбинаторных задач: т.к. имеются два множества мощности n₁ = 12 и n₂ = 5, из которых выбираются подмножества соответственно m₁ = 5 и m₂ = 2, а порядок в подмножествах не важен, то применим формулу сочетаний без повторений. Поскольку и юноши, и девушки входят в команду, то сочетания перемножаем. Отсюда . Решение можно представить графически в виде схемы:

а) б)

8. Конфигурация компьютера состоит из материнской платы, жесткого диска, блока питания, оперативной памяти, процессора и видеокарты. Продавец предлагает покупателю на выбор 3 процессора, 5 материнских плат, 2 жестких диска, 10 планок оперативной памяти, 1 блок питания и 4 видеокарты. Сколько конфигураций компьютера сможет составить покупатель? (Совместимость комплектующих предполагается идеальной)

Решение: По правилу умножения получаем конфигураций компьютера.

9. На компьютер устанавливается 8 программ. Сколько существует вариантов последовательностей установки?

Решение: Применим алгоритм решения комбинаторных задач: т.к. n = 8 и m = 8, т.е. устанавливают все 8 программ и n = m, то необходимо применение формулы перестановок без повторений: P_n = n! = 8! = 40320.

10. Сколькими способами можно рассадить за круглый стол в конференц-зале n вновь прибывших участников пресс-конференции среди m участников, уже сидящих за этим столом?

Решение: Между m участниками, уже сидящими за этим столом имеется m свободных мест (промежутков), в которые можно рассадить вновь прибывших участников. Число способов найдем по формуле сочетаний с повторениями: .

11. В кафе продается мороженое четырех разных наименований. На десерт можно заказать одну, две или даже три порции мороженого одновременно. Сколько возможностей есть у Вас для заказа различных десертов?

Решение: Одну порцию мороженого можно выбрать 4 способам, две порции мороженного можно выбрать 4·4=4² способам, три порции мороженного можно выбрать =4³ способам. Или одну, или две или три порции мороженого можно выбрать 4+4²+4³ = 84 способами.

12. Перевертыш – это многозначное число, которое не поменяет своего значения, если все его цифры записать в обратном порядке.

а) Сколько существует шестизначных телефонных номеров – перевертышей?

б) Сколько существует семизначных телефонных номеров – перевертышей?

Решение:

а) Для записи такого числа надо подсчитать число комбинаций первой половины цифр, а остальные цифры их повторяют в обратном порядке. Для набора из трех цифр при записи телефонного номера потребуется 10³ цифр, но т.к. в старшем разряде не должно быть нулей, то всего будет 9·10² = 900 комбинаций.

б) Т.к. при составлении семизначных перевертышей достаточно в имеющихся 900 комбинаций добавить после первых трех цифр еще одну из 10 возможных и учесть и первые 900 и добавленные 10 вариантов, то всего по правилу произведения будет 900·10 =9000 вариантов.