Алгоритм построения Эйлерова цикла:

1) Выбрать в графе произвольную вершину .

2) Выбрать произвольно некоторое ребро, инцидентное . Присвоить ему имя . Назовем его «пройденным».

3) Каждое следующее пройденное ребро получает индекс на единицу больше, чем предыдущее, смежное с ним.

4) Находясь в некоторой вершине соседней, по отношению к , не выбирать для обхода ребро , инцидентное в том случае, если имеется иная возможность выбора обхода ребер графа.

5) Находясь в некоторой вершине , не выбирать мост.

6) После того, как будут пронумерованы все графа, сформировать Эйлеров цикл. Порядок нумерации установить в соответствии с последовательностью обхода ребер.

Цикломатическим числом или циклическим рангом графа называется число , равное , (2), где – число компонент связности графа, – число его ребер, – число вершин.

Расстоянием между двумя несовпадающими вершинами называется минимальная длина из всех возможных маршрутов между этими вершинами, при условии, что существует хотя бы один такой маршрут. Обозначение (от лат.distantio) . (3)

Т.е. расстояние между вершинами — наименьшее число ребер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую.

Диаметром графа называется длина самого длинного из всех возможных маршрутов между его вершинами. Т.е. диаметр графа — это максимальное расстояние между вершинами для всех пар вершин. Множество вершин графа, находящихся на расстоянии от вершины , называется ярусом и обозначается .

Центром называется вершина неориентированного графа, от которой максимальное расстояние до других его вершин является минимальным.

Граф на­зы­ва­ют взве­шен­ным, если каждому его ребру поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом . Если , то называется весом ребра .

Пусть задан взвешенный граф , в котором указан вес каждого ребра . Тогда весом маршрута от до , где и – начальная и конечная вершины элементарной цепи длины , называется число .

Кратчайшим маршрутом (путем) между вершинами взвешенного графа называется маршрут (путь) минимального веса между вершинами .

Де­ре­вья

Де­ре­вом на­зы­ва­ют ко­неч­ный связ­ный граф с вы­де­лен­ной вер­ши­ной (кор­нем), не имею­щий цик­лов.

Ко­де­ре­вом ос­то­ва гра­фа на­зы­ва­ет­ся дополнение до , т.е. та­кой его под­граф, ко­то­рый со­дер­жит все его вер­ши­ны и толь­ко те реб­ра, ко­то­рые не вхо­дят в .

Ли­сть­я­ми на­зы­ва­ются ви­ся­чи­е вер­ши­ны дерева, за исключением корневой.

Теорема 2. Граф является деревом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:

1) граф связен и не содержит циклов;

2) граф не содержит циклов и имеет ребер, т.е. ;

3) граф связен и имеет ребер, т.е. ;

4) граф не содержит циклов, но добавление ребра между несмежными вершинами приводит к появлению одного и только одного элементарного цикла;

5) граф связный, но утрачивает это свойство после удаления любого ребра;

6) в графе всякая пара вершин соединена цепью и только одной:

7) граф связен и каждое его ребро (дуга) является мостом.

Иерархической структурой называется многоуровневая форма организации объектов со строгой соотнесенностью объектов нижнего уровня определенному объекту верхнего уровня.

Лесом называется любой неориентированный граф без циклов (или ациклический граф). Компоненты связности леса есть деревья.

Ле­с есть упо­ря­до­чен­ное объ­е­ди­не­ние де­ревь­ев . Если граф – лес из деревьев, то справедливо равенство .

Би­нар­ны­ми (двоичными) называются де­ревь­я­, у которых наибольшая из степеней выхода из каждой вершины равна двум.

Полным называется двоичное дерево с корнем, у которого все вершины (за исключением листьев) имеют степени выхода, равные двум.

Каждому графу – дереву с ребрами можно поставить во взаимно-однозначное соответствие вектор длины , составленный из нулей и единиц, который называется кодом дерева или его двоичным кодом. Для построения кода из всех возможных вариантов обхода дерева выбираем продолжения обхода по крайнему левому ребру. При обходе дерева слева направо каждому ребру ставится в соответствие , при повторном – . Начинается и заканчивается обход в корне дерева. Очевидно, что число нулей и число единиц кода дерева равны между собой.

Остовом или остовным деревом (каркасом) называется подграф графа , являющийся деревом и включающий в себя все вершины . Для построения остовного дерева (см. Задачу о кратчайшем соединении) в графе, содержащем n вершин, необходимо выбрать ребро.

Пример. Представьте алгебраическое выражение в виде ие­рар­хи­че­ской струк­ту­ры – двоичного дерева.

Решение: Двоичное дерево заданного алгебраического выражения представлено на рисунке: