Лекция 1. Теория множеств Множества. Операции над множествами.

Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно

вывести почти всю современную математику

из единого источника – теории множеств.

Н. Бурбаки

1. Множества.

Создатель теории множеств Г. Кантор (1845 -1918) определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью», а также «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Множество – это совокупность, каких – либо объектов. Объекты, входящие в данное множество, называются элементами множества.

Множества обычно обозначают большими буквами: А, В, …, Х.

Элементы множеств обозначают малыми буквами: а, в, …, х .

Запись означает, что элемент принадлежит множеству . Если же элемент не принадлежит множеству , то пишут .

Удобно при рассмотрении множеств пользоваться диаграммами Эйлера – Венна. При этом «универсальное множество» изображается в виде прямоугольника. Универсальным множеством называется множество, в которое включены все возможные объекты в рамках рассматриваемой задачи.

Например, если рассматривается множество действительных чисел, то универсальным множеством является вся числовая прямая: .

Множества А, В,… изображаются чаще всего в виде кругов, расположенных внутри прямоугольника.

З апись (читается: множество А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А принадлежит множеству В. В этом случае множество А называют подмножеством множества

В. Множества А и В называют равными и пишут А=В, если , . Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым множеством и обозначают .

Множество задают либо перечислением его элементов, либо описанием свойств множества, которые однозначно указывают совокупность элементов. При втором способе множество определяется как совокупность тех и только тех элементов из универсального множества , которые обладают свойством . В этом случае используют обозначение: .

Пример 1. . Множество А задано перечислением его элементов и состоит из четырёх действительных чисел.

Пример 2. . Множество А задано описанием элементов. . Над множествами вводятся следующие операции.

2. Операции над множествами.

1 . Объединение (или сумма) множеств А и В – обозначается символом . В объединение входят все элементы, принадлежащие множеству , а также все элементы, принадлежащие множеству . Если есть такие элементы, которые принадлежат и множеству , и множеству , то они входят в

объединение . Операция объединения естественным образом обобщается на случай произвольного числа множеств (конечного или бесконечного): - объединение множеств .

Пример 3.

2. Пересечение (или произведение) множеств А и В – обозначается символом . В пересечение входят все элементы, которые являются и элементами множества , и элементами множества . Операция пересечения

естественным образом обобщается на случай произвольного числа множеств (конечного или бесконечного): - пересечение множеств .

Пример 4.

Замечание. Из определений суммы и произведения множеств, следует, что , то есть произведение множеств является подмножеством суммы множеств.

3. Если множества и не имеют общих элементов, то есть если , то и называются непересекающимися множествами.

Пример 5.

4. Разность множеств и обозначается символом . В разность входят те элементы множества , которые не являются элементами

множества . Её можно рассматривать как относительное дополнение до .

Пример 6. .

Если, в частности, есть подмножество универсального множества , разность обозначается символом . Множество называется дополнением множества . Итак, .

5 . Симметрическая разность (дизъюнктивная сумма) есть множество всех элементов, принадлежащих или , или (но не обоим вместе), то есть .

Пример 7.

Число элементов, составляющих множество , обозначается символом .

Пример 8. Пусть . Т огда .

Если множества и не пересекаются, то очевидна формула: .

В общем случае число элементов объединения множеств вычисляется по формуле: .

Мощность множества − число элементов множества , обозначается или .

Словарь перевода с языка теории множеств на русский язык

− элемент принадлежит множеству , т.е. элемент

обладает некоторым признаком.

− элемент не принадлежит множеству.

− состоит из тех элементов , которые обладают признаком

.

Основные операции над множествами
№	Название операции	Обозна-чение	Изображение (круги Эйлера, диаграммы Венна)	Определения
1	Пересечение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и
	Символическая запись:
2	Объединение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и
	Символическая запись:
3	Разность множеств			Те и только те элементы, множества , которые не принадлежат
	Символическая запись:
4	Дополнение к множеству А			Те и только те элементы, которые дополняют множество до универсального множества .
	Символическая запись:
5	Симметри-ческая разность			Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: либо , но не являются общими элементами.
	Символическая запись: