1.3 Вільні незатухаючі гармонічні коливання. Диференційне рівняння цих коливань (пружинний маятник, коливальний контур)
Коливальними називаються процеси, які характеризуються певною повторюваністю.
Вільні коливання – це коливання в системах, виведених із положення рівноваги і представлених самим собі.
Вимушені коливання виникають в системах, які зазнають періодичної зовнішньої дії. Це може бути сила, напруга і т. ін.
Автоколивання – це різновидність вимушених коливань, коли моментами дії зовнішнього фактору управляє сама система за рахунок створення зворотного зв’язку.
Гармонічні - це коливання, при яких параметри системи змінюються по гармонійному закону, тобто по закону sin або cos. Реальні коливання найчастіше негармонійні. Але будь-яку функцію можна розкласти в тригонометричний ряд Фур’є
,
тобто представити сумою гармонічних функцій кратних частот (гармонік). Число гармонік n задається необхідною точністю апроксимації і може бути нескінченно великим. Таким чином, для вивчення негармонійних коливань досить вивчити закони гармонійних коливань та правило їх складання.
Незатухаючі – це коливання, які продовжуються нескінченно довго, тобто передана при збудженні коливань енергія системи не змінюється (не розсіюється) з часом. Якщо запасена енергія системи зменшується, коливання з часом припиняться (затухнуть). Такі коливання називаються затухаючими.
Розглянемо паралельно механічні (на прикладі пружинного маятника) та електричні (на прикладі коливального контура) коливання.
Механічні коливання
Розтягнемо пружину на величину хо. Тим самим надамо системі потенціальну енергію деформованої пружини
|
Електричні коливання Коливальний контур складається із конденсатора С і ідеальної (опір дроту дорівнює нулю) котушки індуктивністю L (рис.1.4).
З
|
Муфта
масою m
закріплена
на пружині жорсткістю k може рухатись
без тертя по стержню (рис.1.3).
арядимо
конденсатор до заряду qо,
тобто
надамо системі енергію електричного
поля конденсатора
Бачимо аналогію величин
Жорсткість
пружини k
→
-обернена
електроємність
Максимальне зміщення хо → qo - максимальний заряд
Представляємо системи самим собі:
Потенціальна енергія перетворю-ється в кінетичну
|
Енергія електричного поля перетворюється в енергію магнітного поля котушки
|
Відпускаємо
муфту. Під дією пружної сили муфта m
починає рухатись з прискоренням.
Швид-кість зростає, досягаючи
макси-мального значення Vo
в момент проходження точки 0 положення
рівноваги, що відповідає неде-формованій
пружині (рис.1.5).
Замикаємо
ключ К. Конденсатор починає розряд-жатись.
Виникає електричний струм, який досягає
макси-мального значення Іо
в момент повної розрядки конденсатора
(рис.1.6). В котушці виникає магнітне
поле.
Аналогія механічних і електричних величин:
маса m → L – індуктивність,
швидкість V → Io – струм.
Пройшовши положення рівноваги тіло рухається далі по інерції, стискуючи пружину. Швидкість і кінетична енергія зменшуються до нуля, стискуючи пружину на величину хо (рис.1.7).
Кінетична енергія знову перетворюється в потенціальну енергію стиснутої пружини. |
Після повної розрядки конден-сатора струм починає зменшу-ватись. Згідно із законом само-індукції в котушці виникає індук-ційний струм, який у відповід-ності із законом Ленца повинен протидіяти такому зменшенню, тобто мати той же самий напря-мок. Цей індукційний струм і пе-резаряджає конденсатор (рис.1.8).
Е |
нергія
магнітного поля перетворюється в
енергію електричного поля конденсатора.
Потім процеси повторюються в зворотному напрямку до повернення систем у початковій стан. В системах відбулося одне повне коливання. Одержимо диференційні рівняння, які описують розглянуті процеси незатухаючих коливань.
Запишемо другий закон Ньютона
Позначимо
|
Запишемо
другий закон Кірхгофа
Одержуємо
Позначимо
|
Так
як
,
одержуємо
.
.
Маємо
.
напруга на конденсаторі дорівнює
е.р.с. самоіндукції.
;
.
.
.
Маємо
.
(1.16)
Одержали ідентичні з математичної точки зору диференційні рівняння.