1.Справочный материал.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
|
|||||
Необходимый признак сходимости ряда |
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами |
||||
Признак сравнения
|
Предельный признак сравнения |
Признак Даламбера |
Радикальный признак Коши. |
Интегральный признак Коши. |
|
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера.
|
Пусть
даны два положительных ряда
|
Если
существует конечный и отличный от
нуля предел
|
Если
существует предел отношения последующего
члена ряда к предыдущему
q < 1 ряд сходится, q > 1 ряд расходится, q = 1 признак ответа не дает.
|
Если
существует
|
Если
при
х
1 - непрерывная, положительная и
монотонно убывающая функция, то ряд
|
ЧИСЛОВЫЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ.
|
|||||
Абсолютная сходимость |
Условная сходимость |
||||
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда расходится, а по признаку Лейбница ряд сходится, то ряд сходится условно. |
||||
|
Признак
Лейбница. Знакочередующийся
ряд
|
||||
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
|
|||||
|
Радиус
сходимости
Областью абсолютной сходимости степенного ряда является (-R; R)
|
||||
РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД МАКЛОРЕНА
|
|||||
|
6.
|
|||||
.
(1) и
(2),
если
,
то из сходимости ряда (2) следует
сходимость ряда (1), а из расходимости
ряда (1) - расходимость ряда (2).
,
то оба ряда
и
одновременно сходятся или расходятся.
, то при
, то при q
< 1 ряд сходится, при q
> 1 ряд расходится, а при q
= 1 признак ответа не дает. 
,
где
и несобственный интеграл
сходится или расходится одновременно
сходится, если его члены, взятые по
абсолютной величине, монотонно убывают
и общий член
при
т.е.:
.
2. Задания для самостоятельной работы
Задание1. Исследовать на сходимость:
1. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
2. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
3. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
4. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
5. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
6. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
7. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
8. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
9. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
10. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
11. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
12. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
13. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
14. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
15. |
а)
|
б) |
|
в)
|
г)
|
16. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
17. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
18. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
19. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
20. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
Задание 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
Задание 3. Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
Задание 4. Вычислить приближенно значения определенных интегралов, взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
Задание
5. Найти разложение в степенной ряд
решения
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию
.
