1.Справочный материал
Дифференциальные уравнения первого порядка.
№ п/п |
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Подстановка, приводящая к уравнениям с разделяющимися переменными |
1. |
Уравнения с разделяющимися переменными |
f(x)dx+ g(y)dy=0 |
|
2 |
Однородные уравнения |
|
|
3 |
Линейные уравнения |
|
|
4 |
Уравнения Бернулли |
|
|
Структура
общего решения однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
:
Характеристическое
уравнение:
|
||
№ п/п |
Вид корней характеристического уравнения |
Фундаментальная система частных решений |
1 |
Корни характеристического уравнения действительные различные
|
|
2 |
Корни характеристического уравнения различные, среди них имеются комплексно-сопряженные
|
|
3 |
Корень
характеристического уравнения
|
|
Общее решение |
||
|
||
-
корень кратности «к»
Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью:
,
f(x) =
(
)
Вид правой части |
Проверяемое
зна-чение корня характе-ристического
уравн.
|
Вид частного решения, если не является корнем характеристического уравнения |
Вид частного решения, если -корень кратности характеристического уравнения |
|
=0 |
|
|
|
=а |
|
|
|
= |
|
( ) |
( ) |
=а |
( |
( ) |
)
2. Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка.
1. |
а)
в)
|
2. |
а)
в)
|
3. |
а)
в)
|
4. |
а)
в)
|
5. |
а)
в)
|
6. |
а)
в)
|
7. |
а)
в)
|
8. |
а)
в)
|
9. |
а)
в)
|
10. |
а)
в)
|
11. |
а)
в)
|
12. |
а)
в)
|
13. |
а)
в)
|
14. |
а)
в)
|
15. |
а)
в)
|
16. |
а)
в)
|
17. |
а)
в)
|
18. |
а)
в)
|
19. |
а)
в)
|
20. |
а)
|
21 |
а)
в) |
22 |
а) в) |
23 |
а)
в) |
24 |
а)
в) |
25 |
а)
в) |
в)
Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка:
б) в)
|
2. а) б) в)
|
3. а) б) в)
|
4. а) б) в)
|
5. а) б) в)
|
6. а) б) в)
|
7. а) б) в)
|
8. а) б) в)
|
9. а) б) в)
|
10. а) б) в)
|
11. а) б) в)
|
12. а) б) в)
|
13. а) б) в)
|
14. а) б)
в)
|
15. а) б)
в)
|
16. а) б) в)
|
17. а) б) в)
|
18. а) б) в)
|
13. а) б) в)
|
14. а) б)
в)
|
Задание 3. Решить задачу Коши:
Задание 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
Зачетное задание №6. Числовые и функциональные ряды