Розділ 7

1.Дослідження функціЙ та побудова графіків

У різних сферах людської діяльності (керування виробництвом, планування бойових операцій) виникають задачі, в яких потрібно знайти найбільш вдалий (оптимальний) спосіб дії. Більшість цих задач оптимізації надзвичайно складна і їх розв’язання ґрунтується на математичному моделюванні з використанням обчислювальних машин. Проте деякі прості задачі керування можна розв’язати методами диференціального числення

7.1. Проміжки монотонності функції

Теорема (Достатня умова монотонності). Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна на інтервалі і для , то функція зростає (спадає) на відрізку .

,

( ) .

Твердження Р Твердження S

(Якщо з твердження Р випливає твердження S,то кажуть, що Р достатньо для S)

Отже, знаходження проміжків монотонності функції зводиться до відшукування проміжків знакопостійності її похідної.

7.2. Екстремуми функції

Нехай функція неперервна в точці .Нагадаємо, що околом точки називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Проколений окіл точки , це окіл, з якого виключена точка ,

Означення. Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує проколений окіл точки , такий, що для всіх виконується нерівність

.

Іншими словами, в точці локального мінімуму (максимуму) значення функції є найбільшим (найменшим), порівняно зі значеннями, яких вона набуває у сусідніх з точках.

Т очки локального максимуму і мінімуму називаються точками локального екстремуму, а значення функції у цих точках – екстремумами.

Рис. 7.1

Легко бачити, що точками локального екстремуму функції, графік якої наведено на рис. 7.1, є точки , , . Як домовились раніше (підрозд. 5.2, у подібному випадку будемо використовувати позначення ), , , але ці числа не рівні між собою). Точки , не є точками локального екстремуму.

Необхідна умова локального екстремуму

ТЕОРЕМА 1 (П.Ферма). Нехай функція неперервна в точці і має у цій точці локальний екстремум. Тоді або функція не є диференційовною у точці .

Критичними точками неперервної функції називаються або точки, у яких похідна дорівнює нулю, або точки, у яких функція не є диференційовною (не має скінченної похідної).

Інакше кажучи, точки локального екстремуму функції треба шукати серед множини її критичних точок.

– точка локального екстремуму функції

,або , або не існує.

Таким чином, існування горизонтальної дотичної у точці є необхідною умовою для того, щоб диференційовна функція досягала локального екстремуму у внутрішній точці . Однак ця умова не є достатньою. Наприклад, дотична до графіка функції в початку координат горизонтальна, але ця функція не досягає локального екстремуму в точці .