6) Нелинейные модели

Во многих экономических и производственных задачах встречаются не только линей­ные функции и отношения. Среди реальных задач строго линейные задачи скорее явля­ются исключением, чем правилом. Например, в линейной модели обычно предполагает­ся, что цена является постоянной, скажем p, а объем продаж, переменная х, не зависит от цены. Следовательно, доход вычисляется по формуле р*х, т.е. можно сказать, что доход пропорционален цене. Однако в действительности цена может варьироваться, а объем продаж (и спрос) может зависеть от цены Эта зависимость выражается формулой проданное количество = f(p), где f — некая функция от р. Тогда доход вычисляется по формуле:

доход = цена х объем продаж = р * f (р),

которая является нелинейной по переменной р. В этом случае модель определения цены, позволяющей максимизировать доход, окажется нелинейной.

В общем случае к нелинейности моделей могут привести любые физические, струк­турные, биологические, экономические и логические взаимосвязи и их комбинации. Следует еще раз подчеркнуть, что, хотя нелинейные явления широко распространены, нелинейные модели существенно сложнее оптимизировать, чем линейные Например, в отличие от задач линейного программирования (ЛП), нельзя рассчитывать, что опти­мизационная процедура средства «Поиск решения» всегда сможет найти оптимальное ре­шение любой нелинейной задачи. Чтобы понять это, нужно рассмотреть графический пример (рис. 7). В процессе решения можно попасть в ловушку – локальный оптимум.

Рис. 7 - Графическое представления нелинейной модели

Этот факт, а также то обстоятельство, что линейные модели зачастую являются достаточно хорошим приближением нелинейных моделей, объясняет популярность линейных моделей. Это средство также позволяет достаточно легко оптимизировать модель, содержащую нели­нейную целевую функцию и нелинейные функции ограничений.

Однако следует пом­нить, что «Поиск решения» использует различные методы оптимизации для моделей ЛП и НЛП. При оптимизации модели ЛП используется симплекс-метод, а для моделей НЛП — метод приведенного градиента Оптимизация нелинейных моделей состоит из следующих этапов. Первым делом, используя начальные значения переменных решения, указанные в поле Изменяемые ячейки диалогового окна Поиск решения, процедура на­ходит допустимое решение, т.е. набор значений переменных, которые удовлетворяют всем ограничениям. Затем для этой начальной точки находится направление, в котором наиболее быстро улучшается значение целевой функции. В этом направлении изменяют­ся значения переменных до тех пор, пока не будет достигнута линия ограничения или пе­рестанет улучшаться значение целевой функции. Затем из новой точки вычисляется но­вое направление и процесс повторяется. Это продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение во всех направлениях станет невозможным, на чем процедура завершается

Указывать целевую функцию необязательно. Если она не задана, Поиск решения бу­дет пытаться найти некое допустимое решение Таким образом, это средство можно ис­пользовать для проверки допустимости множества ограничений или для решения систем линейных и нелинейных уравнений.