2) Графический метод представления и решения задачи лп

Графический метод — очень хороший способ представления задач ЛП с двумя переменными, он очень много дает для понимания сути и возможностей моделирования. Однако для решения задач он не применим, т.к. решение возможно только для 2 переменных, а на практике их обычно больше.

Суть графического способа состоит в построении на координатной плоскости линий, отображающих соответствующие уравнения. При этом необходимо вспомнить правило, что у неравенств есть допустимая и недопустимая область.

Множество всех значений переменных решения, удовлетворяющих одновременно всем ограничениям, называется допустимым множествам ограничений или допустимой областью (закрашена серым цветом).

Рис. 1. Графическое решение упрощенной задачи ЛП

То есть в этой области лежат все возможные решения для системы неравенств, которые заданы ограничениями модели. Однако оптимальное решение любой модели ЛП не может находиться во внутренней точке допустимой области, оно всегда лежит на границе этой области. Связано это с тем, что помимо ограничений есть еще целевая функция, которая, двигаясь внутри допустимой области, всегда упирается в ее границы.

Геометрически лимитирующее ограничение — это ограничение, на линии которого расположено оптимальное решение.

Геометрически нелимитирующее ограничение — это ограничение, на линии которого нет оптимального решения.

Добавление ограничений приведет к ухудшению оптимального значения или оставит его неизменным. Удаление ограничений приведет к улучшению оптимального значения или оставит его - неизменным. То же самое касается дополнительных переменных.

Таким образом, решение задачи ЛП находится в угловой точке допусти­мой области, а именно — в вершине угла, образованного при пересечении линий ограни­чений для длинных штифтов и ножек. В линейном программировании углы допустимой области называются крайними точками.

На рис 2 изображено произвольное шестистороннее множество ограничений и прямые трех различных целевых функций, обозначенных f, h и g. Для каждой целевой функции стрелка указывает направление, в котором оптимизируется соответствующая целевая функция В каждом случае оптимальное решение окажется в некой в угловой точке Целевая функция g на рис 2 иллюстрирует интересный случай, когда оптималь­ная прямая целевой функции совпадает с одной из линий ограничений, составляющих границу допустимой области Это может получиться только тогда, когда прямая целевой функции имеет тот же угол наклона, что и линия ограничения. В таком случае будет бесконечно много оптимальных решений, а именно — угловые точки В, С и все заключенные между ними точки границы допустимой области Такие решения называются множественными оптимумами Однако даже в том случае, когда единственного оптимального значения нет, по-прежнему верно утверждение, что существует оптимальное угловое решение (фактически их два) Данная геометрическая иллюстрация подтверждает важный факт, справедливый для моделей ЛП с произвольным числом переменных решения.

Рис. 2. Задача ЛП всегда имеет угловое решение

Если модель ЛП имеет оптимальное решение, всегда существует по крайней мере одно угловое решение.

Неограниченные модели

Вернемся к графическому изображению модели на рис. 1, однако те­перь изменим ее, предположив, что некоторые ограничения по невнима­тельности были пропущены (рис. 3). Как видим, теперь допустимая область неограниченно простирается в восточном направлении, поэтому можно сколь угодно далеко двигать линию целевой функции в этом направлении. У такой модели нет решения, поскольку целевая функция неограничена. Таким образом, для любого набора допустимых значений переменных решения можно найти другие допусти­мые значения, которые улучшат значение целевой функции. Модели такого типа называ­ются неограниченными моделями Неограниченная модель — это аномалия. Такая модель может получиться, если одно или несколько огра­ничений были пропущены или были допущены ошибки при вводе неравенств, задающих ограничения. Заметим, что модель с неограниченной допустимой областью не обязательно является неограниченной моделью. Например, если на рис. 3 для другой целевой функции увеличение ее значений происходит при движении в северо-западном направлении, такая задача будет иметь решение.

Рис. 4.8. Неограниченная модель Oak Products

Недопустимые модели

Существует другой тип аномалии, которой необходимо избегать в линейном программировании. Это недопустимость (несогласованность) огра­ничений. Этим термином обозначаются модели, множество допустимых значений кото­рых пусто, т. е. ни одна комбинация значений переменных решения не удовлетворяет всем ограничениям одновременно Приведем пример недопустимой модели линейного программирования.

Графическое представление области решений для данной модели ЛП показано на рис. 4. Нетрудно убедиться, что не существует пары значений Е и F, соответствующей всем ограничениям

Рис. 4. Недопустимая модель ЛП

Как следует из рис 4., отсутствие допустимых решений зависит только от ограничений и не зависит от целевой функции Очевидно, что недопустимая задача ЛП не имеет решений, но аномалии такого рода не возникают в корректно разработанных моделях. Иными слова­ми, недопустимость в правильно поставленной задаче всегда означает, что модель непра­вильно описана возможно, ошибки могут заключаться в том, что ограничений слишком много или неправильны некоторые неравенства ограничений

Графическое представление модели осуществляется в программе GLP, которая является дополнительным модулем Excel.