5.3.1. Построение точек на поверхностях Каталана.

Пусть задана точка А, лежащая на поверхности  гиперболического параболоида (А  ), причем задана ее одна проекция А₁.

Недостающую проекцию точки строят после того, как построены проекции поверхности.

Если проекция точки задана на плоскости проекций, где расположена плоскость параллелизма (например точка А₁ на рис. 5.25а), то через точку А₁ параллельно плоскости параллелизма Г₁ проводим проекцию образующей, например 1₁-1₁. Затем строим фронтальную проекцию 1₂-1₂ этой образующей, на которой находится искомая проекция А₂ точки А.

Если проекция точки, лежащей на поверхности, расположена на другой плоскости проекций относительно плоскости параллелизма, например точка В₁ на поверхности (m,n,П₁) цилиндроида (рис. 5.25б), то выполняются следующие действия:

- через В₁ проводим произвольную вспомогательную линию b(b₁), которая пересекает уже построенные образующие;

- находим точки пересечения проекции b₁ и горизонтальных проекций образующих поверхности ;

- строим фронтальные проекции этих точек пересечения;

- полученные точки соединяем плавной линией b₂;

- на проекции вспомогательной линии b₂ строим недостающую проекцию B₂ точки B.

5.4. Поверхности вращения

Поверхность вращения образуется движением некоторой линии, называемой образующей d, вокруг неподвижной оси i. Если образующая и ось лежат в одной плоскости, параллельной плоскости проекции, то образующая называется главным меридианом. Любое другое положение образующей является меридианом. Каждая точка образующей вращается вокруг оси по окружности, называемой параллелью, в плоскости перпендикулярной оси вращения. Самая большая параллель называется экватором, самая малая параллель называется горлом (рис. 5.26).

Таким образом, в определитель поверхности вращения входят образующая d и ось вращения i, т.е (d,i). Для удобства изображения ось i располагают либо перпендикулярно плоскости проекций (проецирующая ось), либо параллельно плоскости проекций (ось уровня).

5.4.1. Поверхности вращения общего вида

Поверхностями вращения общего вида называются поверхности, у которых образующая d представляет собой произвольную кривую. На рис. 5.27а изображены проекции определителя поверхности вращения , заданной осью вращения i  П₁ и главным меридианом d. На рис. 5.27б даны проекции определителя поверхности вращения , заданной осью вращения i П₁ и меридианом d. На рис. 5.27в изображены проекции определителя поверхности вращения , заданной осью вращения i, расположенной параллельно фронтальной плоскости проекции ( i П₂) и образующей d, являющейся главным меридианом.

На рис. 5.28 изображены проекции поверхностей общего вида.

`

Если ось вращения перпендикулярна плоскости проекций П₁ или П₂, то параллель m проецируется на одну плоскость проекций в виде горизонтальной прямой m  i, на другую – в виде окружности. Так на рис. 5.29а ось поверхности вращения перпендикулярна П₁ (i  П₁), следовательно, все параллели проецируются на П₁ в виде окружностей, а на П₂ – в виде прямых.

Если ось вращения является осью уровня, то параллель на одну плоскость проекций проецируется в виде прямой m перпендикулярной оси i (m  i), на другую – в виде эллипса. На рис.5.29б фронтальная проекция параллели m₂ перпендикулярна проекции оси вращения i₂, а горизонтальная проекция параллели m₁ изображается в виде эллипса.

Если ось вращения перпендикулярна П₃, то обе проекции поверхности вращения на П₁ и П₂ представляют собой одинаковые фигуры (рис. 5.29в), а параллель проецируется на эти плоскости проекций в виде прямых, перпендикулярных проекциям оси вращения, т.е. m₁  i₁, а m₂  i₂.