4.7. Построение прямой линии параллельно плоскости

Из школьного курса известно определение параллельности прямой и плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в плоскости.

С огласно определению, из точки М, не лежащей в плоскости (ab), построим прямую l параллельно этой плоскости.

На комплексном чертеже на горизонтальной плоскости проекции П₁ из точки М₁ проводим прямую l₁ параллельно любой стороне проекции ₁ плоскости, например стороне а₁ (рис. 4.17). На фронтальной плоскости проекций П₂ из точки М₂ проводим прямую l₂ параллельно стороне а₂ проекции ₂ плоскости. Получается, что l₁  a_1, a l₂  a₂. Таким образом, прямая l параллельна прямой а плоскости, значит, l  .

4.8. Построение плоскости параллельно другой плоскости

Из школьного курса известно классическое определение параллельности двух плоскостей.

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Покажем решение задачи на примере построения плоскости  параллельно заданной плоскости (А,В,С), если  проходит через точку К.

Н а горизонтальной плоскости проекции комплексного чертежа из проекции К₁ проведем прямую линию а₁ параллельно, например, А₁В₁, и проведем прямую b₁ параллельно, например, В₁С₁ (рис.4.18).

Тогда на фронтальной плоскости проекции комплексного чертежа из К₂ проводим соответственно а₂А₂В₂ и b₂В₂С₂. Таким образом, две пересекающиеся прямые аb параллельны двум пересекающимся прямым АВ  ВС, следовательно,   .

4.9. Построение прямой перпендикулярно плоскости

Из курса геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.

В плоскости можно провести множество пересекающихся прямых. Однако, известно, что прямой угол проецируется на комплексном чертеже в прямой, когда одна сторона его параллельна плоскости проекций, т.е. является линией уровня (см. раздел 3, п. 3.4.4). Из множества пересекающихся прямых в плоскости только две прямые могут быть линиями уровня - это горизонталь h и фронталь f.

Таким образом, чтобы провести перпендикуляр l к плоскости  (А,В,С) (рис.4.19), необходимо провести его перпендикулярно двум пересекающимся прямым- горизонтали h и фронтали f, т.е. на П₁ проекция l₁ перпендикуляра проводится под прямым углом к h₁ (l₁  h₁), а на П₂ проекция l₂ перпендикуляра строится перпендикулярно f₂ (l₂  f₂ ).

4.10. Примеры решения задач

Задача 4.1. Какая из заданных точек 1, 2, 3, 4, 5 принадлежит плоскости (А, В, С)? (Рис. 4.20)

Решение. Согласно определению, точка лежит в плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости (см. п.4.5), следовательно, обе проекции точки должны лежать на одноименных проекциях прямых, принадлежащих плоскости.

П роекция 1₁ точки 1 лежит на проекции А₁В₁ плоскости, в то время как 1₂ не лежит на А₂В₂, тогда точка 1 не принадлежит плоскости.

Проекции 2₁ и 2₂ точки 2 лежат соответственно на проекциях А₁С₁ и А₂С₂ стороны АС плоскости , следовательно, точка 2  .

Проекция 3₁ точки 3 лежит на А₁С₁, а ее фронтальная проекция не лежит на проекции А₂С₂ стороны АС плоскости, следовательно, точка 3 .

Проекция 4₁ точки 4 лежит на В₁С₁, а проекция 4₂ лежит на А₂С₂, поэтому точка 4  .

Проекции 5₁ и 5₂ точки 5 лежат на прямой, которая принадлежит плоскости , т.к. обе точки пересечения этой прямой со сторонами АС ВС плоскости  лежат на соответствующих проекциях (см. п.4.3) комплексного чертежа, т.о., точка 5  .

Ответ: из вех пяти точек только точки 2 и 5 лежат в плоскости .

З адача 4.2. Достроить незаконченную проекцию плоской фигуры АВСD (Рис. 4.21а).

Решение. Так как четырехугольник плоский, следовательно, линии, соединяющие точки А, В, С, D четырехугольника пересекаются.

Проведем диагонали на горизонтальной плоскости проекции А₁С₁ и В₁D₁ (рис. 4.21б). Построим точку 1₁ их пересечения. На фронтальной плоскости проекции соединим диагональю точки А₂ и С₂. На А₂С₂ построим проекцию 1₂ точки пересечения диагоналей. Теперь из точки В₂ проведем прямую линию В₂1₂, а из D₁ проведем линию связи. На пересечении диагонали В₂1₂ с линией связи от точки D₁ строится проекция D₂ точки D. На фронтальной проекции все точки известны, соединяем их отрезками прямых линий, получаем фронтальную проекцию четырехугольника. Задача решена.

Задача 4.3. В плоскости (А,В,С) построить отрезок прямой MN, если заданы разноименные проекции M₂ и N₁ концов отрезка (рис. 4.22а).

Р ешение. Согласно п. 4.3 через N₁ проведем произвольную проекцию прямой линии, например С₁N₁1₁. Соответствующую линию С₂1₂ построим на фронтальной проекции, на которой по линии связи построим фронтальную проекцию N₂ точки N (рис. 4.22б).

Такие же действия требуется повторить для построения проекции М₁ точки М. Проведем А₂М₂2₂ на фронтальной плоскости проекции, а на П₁ соответственно А₁2₁, где и построим проекции. М₁ точки М. Все проекции отрезка известны, осталось их соединить М₁N₁ и M₂N₂. Задача решена.

Задача 4.4. Заданы точка А и прямая l (рис. 4.23а). Через точку А построить плоскость , если  l и  П₁.

₁

Решение. Так как плоскость  перпендикулярна плоскости проекций П₁, то это горизонтально- проецирующая плоскость. Согласно п.4.2.1а эта плоскость проецируется на П₁ в виде прямой линии (см. рис. 4.5б). Такие плоскости можно задать в виде неограниченной плоскости только одной горизонтальной проекцией  ₁(см. рис. 4.6б). Т.к. плоскость  параллельна прямой l, то на комплексном чертеже проекция ₁ и проекция l₁ изображаются параллельно (рис. 4.23б), в то же время  проходит через точку А, согласно условию задачи.

Задача 4.5. Через точку В(30,20,10) построить фронтально- проецирующую плоскость Г, наклоненную к плоскости П₁ под углом 30.

Р ешение. Вначале строим комплексный чертеж точки В по заданным координатам, как было изложено в разделе 2. Поскольку способ задания плоскости Г в задаче не указан, будем считать, что это неограниченная фронтально-проецирующая плоскость. Согласно п. 4.2.1б и рис. 4.7б известно, что комплексный чертеж такой плоскости состоит только из фронтальной проекции Г₂, которая представляет собой прямую линию. Т.к. плоскость Г наклонена под углом 30 к П₁, следовательно проекция Г₂ будет проходить через проекцию В₂ точки В под углом 30 к оси проекций Х (рис. 4.24). Горизонтальная проекция этого комплексного чертежа будет состоять только из проекции В₁ точки В.

Задача 4.6. В плоскости (А,В,С) построить горизонталь h, проходящую через точку А плоскости и фронталь f, проходящую через точку С этой плоскости (h A, f C) (рис.4.25а).

`

Решение. Начнем решение задачи с построения комплексного чертежа горизонтали h. Из п.3.1.2а известно, что фронтальная проекция горизонтали h₂ параллельна оси проекций Х (см. рис. 3.4б). Поэтому, на фронтальной плоскости проекции из А₂ (согласно условию задачи) проводим фронтальную проекцию h₂ горизонтали параллельно оси Х (рис. 4.25 б).Для проведения горизонтальной проекции h₁ горизонтали, необходимо, чтобы она проходила через две точки, а в наличии только одна точка -А₁.

Такая же ситуация при построении фронтальной проекции f₂ фронтали. Если f₁ построить просто, т.к. она проходит через С₁ (согласно условию задачи) параллельно оси проекций Х (см. 3.1.2б и рис. 3.5б), то для построения f₂ недостаточно параметров.

Однако известно, что все горизонтали одной плоскости параллельны между собой, то же самое можно сказать и о фронталях. Поэтому построим вспомогательные проекции h₁, h₂горизонтали и вспомогательные проекции f₁, f₂ фронтали, как было изложено в п.4.4. Теперь параллельно h₁ проводим из А₁ проекцию h₁ горизонтали, т.е. h₁  h₁, а из С₂ проводим f₂ параллельно f₂, т.е. f₂  f₂. Задача решена (рис. 4.25б).

Задача 4.7. В плоскости   П₂ построить горизонталь h и фронталь f (рис.4.26а).

Решение. На комплексном чертеже (рис. 4.26а) задана фронтально - проецирующая плоскость  своей фронтальной проекцией ₂. Горизонтальная проекция этой плоскости занимает все поле плоскости проекций П₁, поэтому не изображается (см. п. 4.2.1б и рис. 4.7в).

Чтобы лучше представить последовательность решения, воспользуемся наглядным изображением поставленной задачи (рис. 4.26б). Начнем с построения горизонтали h. Горизонталь должна лежать в плоскости  и быть параллельна плоскости проекций П₁. Такое возможно только в том случае,

если h займет положение перпендикулярно плоскости проекций П₂. Во всех других положениях горизонталь не параллельна П₁. Тогда на комплексном чертеже (рис. 4.26в) проекция h₂ горизонтали представляет точку, лежащую на проекции ₂ плоскости, а на П₁ проекция h₁ изображается в виде прямой перпендикулярной оси проекций Х.

Фронталь f лежит в плоскости  параллельно П₂ (рис. 4.26б), и на комплексном чертеже горизонтальная проекция f₁ изображается в виде прямой параллельной оси проекций Х. Фронтальная проекция f₂ полностью совпадает с проекцией ₂, т.е. f₂ ₂ (рис.4.26в).

Задача 4.8. Определить расположение прямой t по отношению к плоскости (а  b) (рис. 4.27а).

Решение. В этой задаче необходимо проверить два варианта:

а) принадлежит ли прямая t плоскости ;

б) проходит ли прямая t параллельно плоскости .

Р ассмотрим первый вариант. Продлим проекцию t₁ прямой t до пересечения со сторонами а₁ и b₁ проекции ₁ плоскости (рис. 4.27б). Получаем точки пересечения 1₁ и 2₁. По линиям связи строим фронтальные

проекции 1₂ и 2₂ точек пересечения. Продлеваем проекцию t₂. Если она проходит через точки 1₂ и 2₂, то прямая t лежит в плоскости . В нашей задаче t₂ не проходит через 1₂ и 2₂, следовательно, t  .

Рассмотрим второй вариант. Поскольку t   (из первого варианта), то t₁ и линия 1₁2₁ параллельны. Построим линию 1₂2₂ на фронтальной плоскости проекций. Если t₂ параллельна 1₂2₂, то прямая t параллельна , т.е. t  , т.к. прямая t параллельна прямой 1-2, принадлежащей плоскости  (см. п. 4.7).В данной задаче это условие не выполняется, следовательно, t не параллельна .

Задача 4.9. Через точку К провести прямую d параллельно горизонтали плоскости  (m  n) (рис. 4. 28а).

Решение. Поскольку прямую d следует провести параллельно горизонтали плоскости , значит надо построить горизонталь в этой плоскости. На комплексном чертеже (рис. 4.28б) строим проекции h₁ и h₂ горизонтали (см. п. 4.4а). Согласно п. 4.7 проекции d₁ и d₂ прямой d следует провести через точку К параллельно одноименным проекциям горизонтали h₁ и h₂, т.е. d₁ h₁, d₂  h₂.

Задача 4.10. Через точку А провести прямую k параллельно плоскости Г  П₂ и пересекающую прямую l (рис. 4.29а).

Решение. Поскольку прямая k должна быть параллельна Г, следовательно построение этой прямой необходимо начинать с фронтальной проекции, где из А₂ параллельно Г₂ проводится проекция k₂ до пересечения с прямой l₂. Полученную точку пересечения строим на l₁ горизонтальной плоскости проекций и соединяем ее с А₁ прямой линией k₁. Задача решена (рис. 4.29б).

З

l₂

адача 4.11. Из точки А восстановить перпендикуляр к плоскости (А,В,С) (рис. 4.30а).

B₂

f₂

C₁

A₁

A₂

B₂

A₂

h₂

C₂

B₁

h₁

C₁

f₁

A₁

б

а

Рис. 4.30

Решение. Чтобы построить перпендикуляр к плоскости, надо провести в ней горизонталь h и фронталь f.

На плоскости проекций П₁ проведем из точки А₁ проекцию перпендикуляра l₁ под прямым углом к проекции горизонтали h₁ (h₁  l₁).

На плоскости проекций П₂ проведем из точки А₂ проекцию перпендикуляра l₂ под прямым углом к проекции фронтали f₂ (f₂  l₂).

Таким образом, прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым горизонтали h и фронтали f, следовательно, прямая l перпендикулярна плоскости .