Раздел II. Элементы векторной алгебры
2.1. Основные понятия
Вектором (геометрическим вектором) называется совокупность направленных отрезков, которые параллельны, имеют одинаковую длину и направление.
Обозначают
векторы маленькой буквой или точкой
начала и точкой конца вектора с чёрточкой
или стрелочкой сверху:
.
На рисунках направление вектора
обозначается стрелкой от начала к концу.
Из определения вытекает, что векторы могут перемещаться параллельно самим себе в пространстве, то есть рассматриваются так называемые свободные векторы.
Длиной (модулем)
ненулевого вектора
называется длина отрезка
.
Она обозначается как
.
Длина нулевого вектора равна нулю:
.
Суммой
двух векторов
и
называется новый вектор
.
Геометрически сложение векторов
осуществляется по правилу треугольника
или правилу параллелограмма.
Разностью
векторов
и
называется вектор
,
сумма которого с вектором
равна вектору
.
Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Два
вектора
и
называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных. Обозначение:
.
Произведением
вектора
на число k
называется вектор
,
коллинеарный вектору
и длина которого равна
,
направленный в одну сторону с ним при
и в противоположную при
.
Произведением любого числа на нулевой
вектор является по определению нулевой
вектор.
Три
вектора
называются компланарными,
если они лежат на одной плоскости или
на параллельных плоскостях.
Проекцией вектора на вектор называется число
,
где
угол между векторами
и
.
Аналогично
–
.
Отметим, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций; если вектор умножается на число, то его проекция умножается на это число.
Базисом
в пространстве называется упорядоченная
тройка не компланарных векторов
;
базисом
на плоскости – упорядоченная пара
векторов
;
базисом
на прямой – любой ненулевой вектор
,
который принадлежит прямой.
Векторы, которые создают базис, называются базисными.
Любой
вектор
,
может быть представлен в виде:
,
или
,
где
- базис;
-
некоторые числа, которые называются
координатами вектора в данном базисе.
Базис называется ортонормированным, если составляющие его векторы ортогональны (взаимно перпендикулярны) и нормированы, т. е. имеют единичную длину. В ортонормированном базисе координаты вектора – это его проекции на базисные вектора.
В
этом случае принято обозначение базисных
векторов:
.
Эти базисные векторы называются ортами.
(орт.
,
орт.
,
орт.
).
Их координаты такие:
.
Будем
в дальнейшем рассматривать только базис
.
Из свойств проекций вектора вытекают
правила действия с векторами, заданными
своими координатами: если
в базисе
,
то
.
► Запишите определение вектора.
► Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?
► Дайте определение базиса, ортонормированного базиса.
► Что называется проекцией вектора на вектор ?
2.2. Произведения векторов