5. Метод Зейделя.

Решить систему линейных уравненийметодом Зейделя с точностью = 0,001:

1. Введите матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов.

, .

2. Задайте функцию, выполняющую последовательно:

• приведение системы к нормальному виду;

• приведение нормальной системы к виду, пригодному для итерационного процесса Зейделя;

• реализация итерационного процесса Зейделя. Аргументы функции: А - матрица исходной системы, B - вектор-столбец свободных членов, - точность решения. Функция возвращает решение системы и его погрешность.

Замечание: При наборе оператора if: , сделайте слева команду Add Line дважды и получите

3. Решите систему, используя эту функцию:

4. Проверьте решение:

6. Метод Гаусса — Зейделя. Отладьте программы и проверьте их решение на примерах, выданных преподавателем.

   1. Пример реализация на С++

// Условие окончания

bool converge(double *xk, double *xkp)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (fabs(xk[i] - xkp[i]) >= eps)

return false;

}

return true;

}

/*

Ход метода, где:

a[n][n] - Матрица коэффициентов

x[n], p[n] - Текущее и предыдущее решения

b[n] - Столбец правых частей

Все перечисленные массивы вещественные и

должны быть определены в основной программе,

также в массив x[n] следует поместить начальное

приближение столбца решений (например, все нули)

*/

do

{

for (int i = 0; i < n; i++)

p[i] = x[i];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

double var = 0;

for (int j = 0; j < i; j++)

var += (a[i][j] * x[j]);

for (int j = i + 1; j < n; j++)

var += (a[i][j] * p[j]);

x[i] = (b[i] - var) / a[i][i];

}

}

while (!converge(x, p));

2. Реализация на Pascal

type ar2d = array [1..50, 1..50] of double;

ar1d = array [1..50] of double;

procedure seidel(n: byte; e: extended; a: ar2d; b: ar1d; x: ar1d);

var i, j: longint;

s, v, m: double;

begin

// Проверка на совместность

for i := 1 to n do

begin

s := 0;

for j := 1 to n do

if j <> i then s := s + abs(a[i, j]);

if s >= abs(a[i, i]) then

begin

writeln('SLAE is inconsistent');

exit

end;

end;

// Сам алгоритм

repeat

m := 0;

for i := 1 to n do

begin

s := 0;

for j := 1 to n do

if i <> j then s := s + a[i, j] * x[j];

v := x[i];

x[i] := (b[i] - s) / a[i, i];

m:=abs(x[i])-abs(v);

end;

until m < e;

// Вывод корней

writeln('roots: ');

for i := 1 to n do

writeln('x[', i, ']= ', x[i]:0:4);

end;

7. Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

t ₁+4t₂+2t₃-3t₅ =0

2t₁+9t₂+5t₃+2t₄+t₅=0

t₁+3t₂+t₃-2t₄-9t₅=0

3t₁+12t₂+6t₃-8t₅=0

2t₁+10t₂+6t₃+4t₄+7t₅=0

1. Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3. Введите матрицу системы:

4. Вычислите ранг матрицы системы:

5. Приведите матрицу системы к ступенчатому виду:

6. Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

Здесь равно ставится с панели:

7. Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных: (используйте ту же панель, что в пункте выше)

8. Запишите общее решение системы:

9. Найдите фундаментальную систему решений:

8. Исследуйте неоднородную систему:

Решение:

1. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

3. Сформируйте расширенную матрицу системы:

4. Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод о совместности системы:

5. Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду:

6. Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и разрешите её относительно базисных переменных:

7. Запишите общее решение:

8. Найдите фундаментальную систему решений: