Литература

1. Информатика: базовый курс. / Под ред. С.В. Симоновича. – М.: Питер, 2002. – 640 с.

Лабораторная работа №4. Matlab в задачах вычислительной математики

Цель работы:

Изучение приемов работы с командным окном (‘Command window’) системы MatLab. Использование файлов сценариев и файлов – функций для решения простейших задач вычислительной математики и визуализации результатов вычислений.

Общие сведения:

Программы, реализующие какой-либо численный метод, необходимо записывать в М-файл. Если не дать имени М-файлу, то он запишется при выполнении программы в рабочую папку под именем Untitled (Безымянный). Такой ситуации следует избегать для исключения появления множества файлов с неопределенным именем. Рассмотрим решение различных проблем вычислительной математики, имеющих важное значение при изучении различных наук.

Табулирование функций

Данная задача широко используется в электротехнике, электротехнологии, экологии, теплофизике и других дисциплинах. Обычно функции, описывающие какой-либо процесс, весьма громоздки и создание таблиц их значений требует большого объема вычислений.

Рассмотрим два случая табулирования функции:

1. С постоянным шагом изменения аргументов.

2. С произвольным набором значений аргумента.

Алгоритм реализуется путем организации какого-либо цикла.

Пример 1. Вычислить

,

при R = 4.28 10^-2; = 2.87; х_i изменяется с шагом х = 2; х_п = 2; х_к = 10.

Введем обозначение la = 2.87.

Протокол программы:

R = 4.28е-02; la = 2.87;

Задается начальное значение х, шаг dx и конечное значение х

х = 2.0 : 2.0 : 10.0;

y=R*(abs(log((1-la.^x).^2)-x.^3)).^(1/3); x; y

% Для вывода значения у в конце строки символ ; не ставится!

В окне команд появляются после нажатия кнопки выполнить значения функции у, которые затем можно скопировать в какой-либо файл.

Результаты вычислений:

ans =

2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000

0.0682 0.1634 0.2517 0.3386 0.4250

Пример 2. Вычислить и вывести на экран значения функции

;  

при х₁ = 12.8; х₂ = 23.4; х₃ = 27.2; х₄ = 17.8; х₅ = 16.3; х₆ = 14.9; а = 1.35; b = 0.98.

Данную задачу можно программировать, не изменяя обозначения переменных. Цикл организуется для одномерного массива.

Протокол программы:

а = 1.35; b = 0.98; х(1) = 12.8; х(2) = 23.4; х(3) = 27.2; х(4) = 17.8; х(5) = 16.3; х(6) = 14.9;

for m=1:6 y=(1+(sin(b^2+x(m).^2)).^2)/(a^2+x(m).^2).^(1/3), end;

% В конце строки вычисления функции у символ ; не ставится.

у = 0.3609

у = 0.2327

у = 0.1473

у = 0.1800

у = 0.1771

у = 0.1658

Данные вычислений можно вывести в виде таблицы, если использовать запись [x; y] без точки с запятой или [x y].

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, например различные краевые задачи для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений. Можно с полным основанием утверждать, что данная проблема является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Пусть задана система п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:

(4.1)

Система уравнений (4.1) в матричной форме представляется следующим образом:

АХ = В, (4.2)

где А – квадратная матрица коэффициентов, размером п п строк и

столбцов;

Х – вектор-столбец неизвестных;

В – вектор-столбец правых частей.

Систему уравнений (4.2) можно решить различными методами. Один из наиболее простых и эффективных методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Алгоритм метода основан на приведении матрицы А к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невыраженными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.

Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (п 100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а ее определитель не близок к нулю, то метод Гаусса пригоден для решения больших систем уравнений. В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения систем уравнений (4.2) методом исключения Гаусса.

Для этого применяются следующие операторы: ^{/ -}правое деление; ^{\ -}левое деление; - 1 -возведение в степень –1; ^{inv(A) -}обращение матрицы А.

Выражения

Х = В/A

^{Х =} В* А^ -1

Х = В* inv(A)

Х = A\В

дают решения ряда систем линейных уравнений АХ = В, где А – матрица размером m n, В – матрица размером п 1.

Пример 3. Решить систему 4-х линейных уравнений:

Протокол программы (в М-файле)

а = [1.1161 0.1397 0.1254 0.1490 ;

0.1582 0.1768 1.1675 0.1871 ;

0.1968 1.2168 0.2071 0.2271 ;

0.2368 0.2568 0.2471 1.2671] ;

b = [1.5471 ; 1.6471 ; 1.7471 ; 1.8471] ;

Х4 = а \ b

Эта программа выдает решение заданной системы с помощью четвертого оператора в виде матрицы – столбца

Х4 =

1.0406

0.9351

0.9870

0.8813

Внимание. В М-файле матрица а набирается по строкам, а элементы матрицы правых частей b отделяются символом ; , т. е. тоже набираются по строкам. Решение другими операторами системы уравнений (2.2) требует набора матрицы а по столбцам, а элементы правых частей b отделяются только пробелом!

а = [1.1161 0.1582 0.1968 0.2368 ;

0.1397 0.1768 1.2168 0.2568 ;

0.1254 1.1675 0.2071 0.2471 ;

0.1490 0.1871 0.2271 1.2671] ;

b = [1.5471 1.6471 1.7471 1.8471] ;

Х1 = b/а

Х2 = b* a ^ 1

Х3 = b* inv(a)

Результаты решения

Х1 = 1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

Х2 = 1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

Х3 = 1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

Аппроксимация функций

Одним из распространенных и практически важных случаев связи между аргументом и функцией является задание этой связи в виде некоторой таблицы {x_i ; y_i}, например, экспериментальные данные. На практике часто приходится использовать табличные данные для приближенного вычисления у при любом значении аргумента х (из некоторой области). Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить некоторой функцией g(х) так, чтобы отклонение g(х) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция g(х) при этом называется аппроксимирующей. Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {x_i}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a, b]) аппроксимация называется непрерывной или интегральной. MATLAB имеет мощные средства точечной и непрерывной аппроксимации с визуализацией результата. Рассмотрим наиболее важную точечную аппроксимацию (обработка экспериментальных данных).

Пример 4. Используя линейную и полиномиальную аппроксимации, получить эмпирические формулы для функции у=f(x), заданной в табличном виде:

x_i 0.75 1.50 2.25 3.00 3.75

y_i 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28

Оценить погрешность эмпирических формул.

Протокол программы. В окне команд набираются значения x_i и y_i.

Далее выполняется команда построения графика только узловых точек.

>> x = [0.75, 1.50, 2.25, 3.00, 3.75] ;

>> y = [2.50, 1.20, 1.12, 2.25, 4.28] ;

>> рlot (x, y, 0 ) ;

Появляется окно с символами 0 на месте узловых точек (рис.

4.1).

Внимание. Следует помнить, что при полиномиальной аппроксимации максимальная степень полинома на 1 меньше числа экспериментальных точек!

На панели инструментов окна графика узловых точек в меню Tools исполняем команду Basic Fitting. Появляется окно Основной Монтаж. В этом окне птичкой отмечаются необходимые данные аппроксимации. В частности, можно задать следующие операции:

- показать уравнение аппроксимирующей функции у = g(х);

- выбрать метод подбора: сплайн интерполяции, эрмитовская интерполяция, линейный, квадратные, кубический.

Рис. 4.1. Окно с узловыми точками в MATLAB

В нашей задаче выбираем линейную и полиномиальную аппроксимации. В окне графика появляются соответствующие графики разных цветов и формулы аппроксимирующих функций (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Окно с графиками функций в MATLAB

Чтобы узнать погрешность аппроксимации, надо отметить птичкой параметр График остатка в окне Основной Монтаж, и Показать норму остатков. График погрешностей с нормами можно вынести в отдельное окно, или вместе с графиком и аппроксимирующих функций – суб-график. Норма погрешностей указывает на статистическую оценку среднеквадратической погрешности. Чем она меньше, тем точнее полученная аппроксимирующая функция у = g(х). В нашем примере:

Linear : norm of residuals (норма погрешности) = 2.1061

Quadratic : norm of residuals = 0.10736

Cubic : norm of residuals = 0.035857

4 th degree : norm of residuals = 9.6305e-015.

График погрешностей можно выводить в виде диаграмм (зоны), линий (линии) или отдельных точек (фрагменты). Сам график погрешностей представляет собой зависимость разности g(х) -f(x) в условных точках, соединенных прямыми линиями.

Кроме линейной и полиномиальной аппроксимации можно выбрать сплайн- аппроксимацию – когда на каждом интервале приближения используется кубический полином с новыми коэффициентами. В этом случае нельзя получить выражение для аппроксимирующей функции, т.е. такая аппроксимация является неполной. Аналогичными свойствами обладает и Эрмитовая аппроксимация. Она имеет только графическую интерпретацию.

Построение графиков функции одной переменной в MatLab

Пример 6. Построить в Matlab график функции на отрезке [0, 1].

MatLab обладает хорошо развитыми графическими возможностями для визуализации данных. Рассмотрим в начале построение простейшего графика функции одной переменной на примере функции, определенной на отрезке [0, 1]. Вывод функции в виде графика состоит из следующих этапов:

1. Задание вектора значений аргумента х.

2. Вычисление вектора у значений функции y(х).

3. Вызов команды plot для построения графика.

Команды для задания вектора х и вычисления функции лучше завершать точкой с запятой для подавления вывода в командное окно их значений (после команды plot точку с запятой ставить необязательно, т. к. она ничего не выводит в командное окно).

» х = [0:0.05:1];

» у = ехр(-х).*sin(10*x);

» plot(x, у)

После выполнения команд на экране появляется окно Figure No. 1 с графиком функции. Окно содержит меню, панель инструментов и область графика. Для построения графика функции в рабочей среде MatLab должны быть определены два вектора одинаковой размерности, например х и у. Соответствующий массив х содержит значения аргументов, а у — значения функции от этих аргументов. Команда plot соединяет точки с координатами (x(i), y(i)) прямыми линиями, автоматически масштабируя оси для оптимального расположения графика в окне. При построении графиков удобно расположить на экране основное окно MatLab и окно с графиком рядом так, чтобы они не перекрывались. Построенный график функции имеет изломы. Для более точного построения графика функцию необходимо вычислить y(х) в большем числе точек на отрезке [0, 1], т.е. задать меньший шаг при вводе вектора х:

» х = [0:0.01:1];

» у = ехр(-х).*sin(10*x);

» plot(x, у)

В результате получается график функции в виде более плавной кривой.

Построение графиков функций двух переменных в Matlab

Пример 7. Построить в Matlab график функции z(x, у)= х² + у² на области определения в виде квадрата х є [0, 1], y є [0, 1].

Построение графика функции двух переменных в MatLab на прямоугольной области определения переменных включает два предварительных этапа:

1. Разбиение области определения прямоугольной сеткой.

2. Вычисление значений функции в точках пересечения линий сетки и запись их в матрицу.

Построим график функции z(x, у)= х² + у² на области определения в виде квадрата х є [0, 1], y є [0, 1]. Необходимо разбить квадрат равномерной сеткой (например, с шагом 0.2) и вычислить значения функций в узлах, обозначенных точками. Удобно использовать два двумерных массива х и у, размерностью шесть на шесть для хранения информации о координатах узлов. Массив х состоит из одинаковых строк, в которых записаны координаты x1, х2, ..., х6, а массив у содержит одинаковые столбцы с y1, у2, ..., у6. Значения функции в узлах сетки запишем в массив z такой же размерности (6 х 6), причем для вычисления матрицы Z используем выражение для функции, но с поэлементными матричными операциями. Тогда, например z(3,4) как раз будет равно значению функции z(x,y)в точке (х3, у4). Для генерации массивов сетки х и у по координатам узлов в MatLab предусмотрена функция meshgrid, для построения графика в виде каркасной поверхности - функция mesh. Следующие операторы приводят к появлению на экране окна с графиком функции (точка с запятой в конце операторов не ставится для того, чтобы проконтролировать генерацию массивов):

» [X, У] = meshgrid(0:0.2:1,0:0.2:1)

» Z = X.^2+Y.^2

» mesh(X,Y,Z)

MatLab позволяет наносить на график дополнительную информацию, в частности, соответствие цветов значениям функции. Сетка генерируется при помощи команды meshgrid, вызываемой с двумя аргументами. Аргументами являются векторы, элементы которых соответствуют сетке на прямоугольной области построения функции. Можно использовать один аргумент, если область построения функции - квадрат. Для вычисления функции следует использовать поэлементные операции.

Основы программирования в среде Matlab

Пример 8. Использование условного оператора if.

Условный оператор if позволяет создать разветвляющийся алгоритм выполнения команд, в котором при выполнении определенных условий работает соответствующий блок операторов или команд MatLab. Оператор if может применяться в простом виде для выполнения блока команд при удовлетворении некоторого условия или в конструкции if-elseif-else для написания разветвляющихся алгоритмов. Пусть требуется вычислить выражение . Предположим, что вычисления выполняются в области действительных чисел и требуется вывести предупреждение о том, что результат является комплексным числом. Перед вычислением функции следует произвести проверку значения аргумента x, и вывести в командное окно предупреждение, если модуль x не превосходит единицы. Здесь необходимо применение условного оператора if, применение которого в самом простом случае выглядит так:

if условие

команды MatLab

end

Если условие выполняется, то реализуются команды MatLab, размещенные между if и end, а если условие не выполняется, то происходит переход к командам, расположенным после end. Файл-функция, проверяющая значение аргумента, приведена в следующем листинге. Команда warning служит для вывода предупреждения в командное окно. Листинг файл-функции Rfun, проверяющей значение аргумента

function f = Rfun(x)

% вычисляет sqrt(x^2-1)

% выводит предупреждение, если результат комплексный

% использование y = Rfun(x)

% проверка аргумента

if abs(x)<1

warning('результат комплексный')

end

% вычисление функции

f = sqrt(x^2-1);

Теперь вызов Rfun от аргумента, меньшего единицы, приведет к выводу в командное окно предупреждения:

>> y = Rfun(0.2)

результат комплексный

y =

0 + 0.97979589711327i

Файл-функция Rfun только предупреждает о том, что ее значение комплексное, а все вычисления с ней продолжаются. Если же комплексный результат означает ошибку вычислений, то следует прекратить выполнение функции, используя команду error вместо warning.

Пример 9. Использование оператора ветвления if-elseif-else.

В общем случае применение оператора ветвления if-elseif-else выглядит следующим образом:

if условие 1

команды MatLab

elseif условие 2

команды MatLab

elseif условие 3

команды MatLab

. . . . . . . . . . .

elseif условие N

команды MatLab

else

команды MatLab

end

В зависимости от выполнения того или иного из N условий работает соответствующая ветвь программы, если не выполняется ни одно из N условий, то реализуются команды MatLab, размещенные после else. После выполнения любой из ветвей происходит выход из оператора. Ветвей может быть сколько угодно или только две. В случае двух ветвей используется завершающее else, а elseif пропускается. Оператор должен всегда заканчиваться end. Пример использования оператора if-elseif-else приведен в следующем листинге.

function ifdem(a) % пример использования оператора if-elseif-else

if (a == 0) warning('а равно нулю')

elseif a == 1 warning('а равно единице')

elseif a == 2 warning('а равно двум')

elseif a >= 3 warning('а, больше или равно трем')

else warning('а меньше трех, и не равно нулю, единице, двум')

end

Пример 10. Использование циклов for, while в Matlab.

Оператор for предназначен для выполнения заданного числа повторяющихся действий. Самое простое использование оператора for осуществляется следующим образом:

for count = start:step:final

команды MatLab

end

Здесь count - переменная цикла, start - ее начальное значение, final - конечное значение, а step - шаг, на который увеличивается count при каждом следующем заходе в цикл. Цикл заканчивается, как только значение count становится больше final. Переменная цикла может принимать не только целые, но и вещественные значения любого знака. Разберем применение оператора цикла for на некоторых характерных примерах.

Пример: Накопление суммы в цикле

for k = 1:1:10

S = S + 1/factorial(k);

End

Циклы for могут быть вложены друг в друга, при этом переменные вложенных циклов должны быть разными. Цикл for оказывается полезным при выполнении повторяющихся похожих действий в том случае, когда их число заранее определено. Обойти это ограничение позволяет более гибкий цикл while.

while условие цикла

команды MatLab

end

М-файлы в Matlab

Работа из командной строки MatLab затруднена, если требуется вводить много команд и часто их изменять. Ведение дневника при помощи команды diary и сохранение рабочей среды лишь незначительно облегчает работу. Самым удобным способом выполнения команд MatLab является использование М-файлов, в которых можно набирать команды, выполнять их все сразу или частями, сохранять в файле и использовать в дальнейшем. Для работы с М-файлами предназначен редактор М-файлов. При помощи этого редактора можно создавать собственные функции и вызывать их, в том числе и из командной строки.

М-файлы в MatLab бывают двух типов: файл-программы (Script M-Files), содержащие последовательность команд, и файл-функции (Function M-Files), в которых описываются функции, определяемые пользователем.

Пример 11. Создание М-файла и работа с ним

Раскройте меню File основного окна MatLab и в пункте New выберите подпункт M-file. Новый файл открывается в окне редактора М-файлов. Наберите в редакторе команды, приводящие к построению двух графиков в одном графическом окне:

x = [0:0.1:7];

f = exp(-x);

subplot(1, 2, 1)

plot(x, f)

g = sin(x);

subplot(1, 2, 2)

plot(x, g)

Сохраните теперь файл с именем mydemo.m в подкаталоге work основного каталога MatLab, выбрав пункт Save as меню File редактора. Для запуска на выполнение всех команд, содержащихся в файле, следует выбрать пункт Run в меню Debug. На экране появится графическое окно Figure No.1, содержащее графики функций. Если Вы решили построить график косинуса вместо синуса, то просто измените строку g = sin(x) в М-файле на g = cos(x) и запустите все команды снова.

Если при наборе сделана ошибка и MatLab не может распознать команду, то происходит выполнение команд до неправильно введенной, после чего выводится сообщение об ошибке в командное окно. Очень удобной возможностью, предоставляемой редактором М-файлов, является выполнение части команд. Закройте графическое окно Figure No.1. Выделите первые четыре команды программы и выполните их из пункта Evaluate Selection меню Text. Обратите внимание, что в графическое окно вывелся только один график, соответствующий выполненным командам. Выполните оставшиеся три команды программы и проследите за состоянием графического окна. Потренируйтесь самостоятельно, наберите какие-либо из предыдущих примеров в редакторе М-файлов и запустите их. Отдельные блоки М-файла можно снабжать комментариями, которые пропускаются при выполнении, но удобны при работе с М-файлом. Комментарии в MatLab начинаются со знака процента и автоматически выделяются зеленым цветом, например:

%построение графика sin(x) в отдельном окне

В редакторе М-файлов может быть одновременно открыто несколько файлов. Переход между файлами осуществляется при помощи закладок с именами файлов, расположенных внизу окна редактора. Открытие существующего М-файла производится при помощи пункта Open меню File рабочей среды, либо редактора М-файлов. Открыть файл в редакторе можно и командой MatLab edit из командной строки, указав в качестве аргумента имя файла, например:

» edit mydemo

Команда edit без аргумента приводит к созданию нового файла. Все примеры, которые встречаются в этой лабораторной работе, лучше всего набирать и сохранять в М-файлах, дополняя их комментариями, и выполнять из редактора М-файлов. Следует отметить, что применение численных методов и программирование в MatLab требует создания М-файлов.