3. Погрешности прямых измерений

Пусть n раз, в серии прямых равноточных измерений, определяется физическая величина x. По результатам ее измерений: x₁, x₂, …, x_i, x_n, можно определить среднее значение измеряемой величины [1,3]:

.

Абсолютной погрешностью i-го измерения называется величина:

.

Точность i-го измерения характеризуется относительной погрешностью:

.

Серия из n прямых равноточных измерений величины x, характеризуется средней квадратичной погрешностью измерений _x:

.

4. Обработка результатов косвенных измерений

В косвенных измерениях, искомая физическая величина y связана с функциональной зависимостью у = f(x₁, x₂,…x_m) с другими физическими величинами x₁, x₂,…x_m, которые измеряются непосредственно в серии n прямых равноточных измерений.

Вычисление средних значений и соответствующих средних квадратичных погрешностей измерений производится, согласно, предыдущему разделу.

При косвенных измерениях значение измеряемой физической величины находится подстановкой средних значений в формулу .

Например, при определении плотности цилиндра – среднее значение плотности вычисляется по формуле:

.

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений вычисляется по формуле:

.

Здесь - обозначает взятие производной по одной из переменных физических величин, считается, что другие при этом не изменяются.

Применение этой формулы к вычислению средней квадратичной погрешности измерений плотности цилиндрического тела приводит к следующему результату:

.

Из последней формулы хорошо виден смысл коэффициентов .

Физические величины входят в формулу в разных степенях. Чем выше степень, в которой входит физическая величина в формулу, тем больше влияет неточность ее измерения на погрешность определяемой в косвенных измерениях физической величины. Так в приведенном примере, масса и высота цилиндра входят в формулу в первой степени, а диаметр во второй, что приводит соответственно к коэффициентам «влияния» 1 и 4. Поэтому, по возможности, такие физические величины желательно измерять с более высокой точностью [1,3].

5. Погрешность однократных прямых измерений

В силу разных причин, иногда, приходится ограничиваться единственным измерением физической величины. Например, при измерении плотности тела в учебном лабораторном практикуме массу, как правило, измеряют один раз. Как в этом случае оценить величину средней квадратичной погрешности? В учебных целях можно использовать приближенную формулу:

,

где  - цена деления прибора.

При взвешивании  - это величина наименьшего разновеса. Например, если масса тела при взвешивании оказалось равной 15,4 г, то  =0,1 г.

6. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Среднее значение измеряемой физической величины, вычисленное по формулам для прямых и косвенных измерений, является наиболее вероятным значением и, поэтому принимается за значение физической величины в данной серии измерений. Так как число измерений всегда конечно, то и полученные средние значения являются случайными величинами. Случайный характер результатов измерений при их большом числе в серии равноточных измерений имеет следующие особенности. В основном результаты группируются вокруг среднего значения измеряемой величины. Причем относительная доля результатов измерений тем меньше, чем больше величина их абсолютной погрешности. Результаты измерений с одинаковой абсолютной погрешностью, но разным знаком, встречаются одинаково часто. Из двух процессов измерения одной и той же физической величины точнее тот, для которого в одном и том же интервале значений измеряемой величины, в районе ее среднего значения, больше относительная доля результатов измерений [2].

Пусть средняя величина x измерялась n раз. При этом m результатов измерений находится в интервале значений от до .

Вероятность  того, что результаты измерений лежат в интервале , равна . Это вероятность называется доверительной вероятностью, а соответствующий интервал - доверительным интервалом.

Согласно государственным стандартом в результате измерений определяется:

1. среднее значение физической величины,

2. доверительный интервал, в котором находятся физические величины,

3. доверительная вероятность , с которой физическая величина находится в доверительном интервале.

Границы доверительного интервала  зависят от числа измерений и доверительной вероятности. Отметим, что увеличение числа измерений, в пределе до бесконечности, уменьшает величину случайной погрешности, но при этом остается погрешность, связанная с неточностью самого прибора, так называемая приборная (или инструментальная) погрешность, определяемая его классом точности и включающая систематические погрешности метода измерений, градуировки шкалы и т.п.

Величина доверительного интервала определяется по формуле

,

где _x – средняя квадратичная погрешность измеряемой величины x, - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности .

Коэффициент Стьюдента рассчитан с помощью теории вероятности и математической статистики и приводится в таблице 1[2].

Таблица 1

Коэффициент Стьюдента

Число измерений n	Доверительная вероятность 
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	636,6
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31,6
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
9	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
15	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	4,1
20	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	3,9