1.2.Постановка задачи решения уравнения

Процесс численного решения уравнения состоит из нескольких этапов.

Вначале определим, какие корни уравнения необходимо найти. Будем искать все действительные корни на заданном интервале. Поскольку в уравнении имеется многочлен третьей степени, уравнение может иметь до трех действительных корней.

Затем выделим области, содержащие по одному корню уравнения. Этот процесс называют отделением корней. Отделить корень уравнения – это найти такой конечный интервал, на котором имеется единственный корень. Отделение корней выполним графическим способом, построив график функции y = f(x). Все точки пересечения графика с осью 0Х и будут корнями уравнения. По графику функции, построенному в максимальном масштабе, корни уравнения в большинстве случаев можно определить с точностью 0.02, а интервалы отделения корней могут иметь длину до 0.1.

Далее необходимо разработать компьютерную программу на языке Pascal, реализовывающую вычислительный алгоритм метода касательных для уточнения корней уравнения с заданной точностью и произвести вычисления с использованием этой программы.

На заключительном этапе по результатам расчетов проводится анализ полученных решений уравнения на правильность.

Для отделения корней уравнения строим график функции

y = 5х3 + 4x2+4х + 3 = 0

в системе MathCAD. График строим на заданном интервале [-1,0]. По данному графику видим, что уравнение имеет один корень, расположенный на интервале [-1, 0].

По графику можно определить следующий интервал, в котором находится корень уравнения [-0.8, -0.7].

Рис.1.2. График функции на интервале [-1, 0].

1.3.Результаты расчета корней уравнения

Программа решения уравнения методом касательных приведена в Приложении 1.

Ввод начальных данных в программе осуществляется с клавиатуры. Поскольку в программе рассчитывается только одно число – значение корня уравнения, вывод результатов расчета достаточно выполнить на экран монитора.

Таблица идентификаторов, применяемых в программе

Идентификатор	Описание
xk, xk1	Приближения корня уравнения xk, xk+1
eps	Точность вычислений
m	Число корней
n	Счетчик итераций
i	Параметр цикла

Вывод результата расчета корня определим с девятью знаками после запятой, вывод значения функции – в экспоненциальной форме, поскольку это значение при правильном нахождении корня уравнения ожидается очень малым.

Правильность работы программ осуществляется по трем признакам:

число итераций уточнения корня должно быть меньше 100;

значение функции в точке решения уравнения очень мало;

найденный корень должен соответствовать графику на Рис.1.2.

После запуска программы на выполнение необходимо по запросу на экране ввести число корней, точность и для каждого корня – начальное приближение. Для каждого корня программа выведет число итераций, значение корня и значение функции в найденной точке.

Результаты расчета по программе – на Рис.1.3.

Рис.1.3. Копия экрана после выполнения программы

Значение функции f(x) для корня имеет порядок 10-11. Точность вычисления корня  =0.00001 достигается за 4 итерации. Значение корня соответствует графику на рис.1.2.

Для проверки можем использовать встроенную функцию системы MathCAD