2.1.5. Метод жорданових виключень

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1). Введемо нові змінні , , ... , , поклавши , i = 1, 2, ..., m.

Тоді одержимо систему лінійних рівнянь

(2.17)

В цій системі змінні (j = 1, 2, ...,n) можна розглядати як незалежні, а змінні (i = 1, 2, ... m) – як залежні від змінних . Якщо покласти всі змінні рівними нулю, то одержимо задану систему рівнянь (2.1). Далі будемо розв’язувати систему (2.17) відносно змінних . Перетворимо її таким чином, щоб залежні змінні стали незалежними, а деякі чи всі незалежні змінні – залежними. Нехай в першому рівнянні системи (2.17) коефіцієнт ( ). Із цього рівняння знаходимо

(2.18)

Змінну , виражену через y₁ та решту незалежних змінних (2.18), підставимо в інші рівняння системи (2.17) та зведемо подібні члени

де i = 2, 3, ..., m.

У перетвореній системі позначимо через коефіцієнт при

(j = 1, 2, ..., n) в і – му (і = 2, 3, ... m) рівнянні, тобто , і нехай

Перепишемо систему рівнянь (2.17) в вигляді

. (2.19)

Наведені перетворення називають кроком жорданових виключень із розв’язувальним елементом . Після здійснення цього кроку залежна зміна стала незалежною, а незалежна змінна - залежною. Крок жорданових перетворень зручно розбити на такі операції:

1. розв’язувальний елемент – коефіцієнт замінюється одиницею;

2. коефіцієнти першого рівняння і вільний член змінюють лише знак;

3. решта коефіцієнтів (i = 2, 3, ... m) при невідомому в рівняннях залишається без змін;

4. коефіцієнти, які не є коефіцієнтами першого рівняння і не є коефіцієнтами змінної та вільні члени (i = 2, 3, ... n), визначаються за правилом прямокутника , , де і– номер рівняння, j,S– номери змінних , ;

5. всі коефіцієнти нових рівнянь та вільні члени діляться на розв’язувальний елемент .

Для зручності коефіцієнти, змінні , невідомі та вільні члени систем (2.17) (2.19) записують у формі жорданових таблиць.

Таблиця 1

							1

Таблиця 2

							1

Перехід від жорданової таблиці 1 до жорданової таблиці 2 здійснюється за допомогою послідовного виконання вище названих п’яти операцій. Після завершення першого кроку жорданових виключень можуть бути слідуючі випадки.

1. Якщо всі коефіцієнти ( = 2, 3, ... m) – дорівнюють нулю, а хоч один вільний член не дорівнює нулю, то одержимо рівняння , з якого випливає, що і одночасно не можуть бути рівними нулю. Тоді система рівнянь (2.1) не має розв’язку, інакше та рівнялися б нулю.

2. Якщо всі коефіцієнти і вільні члени (і = 2, 3, ...,m ) дорівнюють нулю,то одержуємо, крім першого, ще (m-1) рівнянь = 0, і = 2, 3, ... m. Поклавши = 0 та ( - дійсні числа, j = 1, ... S-1, S+1, ..., n), одержуємо загальний розв’язок

,

(j = 1, ... S-1, S+1, ...,n).

3. Якщо один із коефіцієнтів (наприклад ) не дорівнює нулю, то робимо крок жорданових виключень (перетворень) із розв’язувальним елементом (коефіцієнтом -го рівняння при невідомій ) та приходимо до нової системи рівнянь (відповідно до нової жорданової таблиці), в якій є незалежною змінною, а - залежною.

Зробивши жорданових перетворень, де , нехай одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, (2.20)

в яких змінних є незалежними, а зміннi – залежними. Якщо , то інші змінних залишаються в лівій частині відповідних рівнянь одержаної системи, тобто будуть залежними від змінних .

Відповідна жорданова таблиця після жорданових виключень записується в

слідуючій формі.

Таблиця 3

		…					1
		…
		…
		…		0		0
		...		0		0

Проведемо аналіз розв’язків одержаної системи рівнянь (2.20) і знайдемо умови існування чи не існування розв’язків вихідної системи (2.1) та їх знаходження, якщо вони існують.

1. Якщо і хоч один із вільних членів не дорівнює нулю, то поклавши , одержуємо . Хоч одне з цих значень не дорівнює нулю і всі змінні одночасно не можуть дорівнювати нулю, а це означає, що система (2.1) не має розв’язків.

2. В випадку, коли або і вільні члени , система (2.1) має розв’язок.

Якщо , то поклавши , одержуємо

і . Розв’язком системи (2.1) є , інших розв’язків немає. В цьому розв’язку значення записані в такому порядку, в якому вони одержані після жорданових виключень.

Якщо , то покладаємо в системі (2.20) і

, (2.21)

де - довільні дійсні числа. Тоді одержуємо

(2.22)

і, крім того, при маємо .

Розв’язком системи (2.1) є сукупність значень невідомих в (2.21), (2.22).

Відмітимо, що для спрощення викладок при розв’язуванні алгебраїчних лінійних систем методом жорданових виключень, послідовно записують тільки жорданові таблиці і на їх основі знаходять розв’язки вихідної системи (2.1). Метод жорданових перетворень широко застосовується при розв’язуванні задач лінійного програмування.

Розглянемо приклади розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою жорданових перетворень.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язування. Нехай , , .

Складемо жорданову таблицю, відповідну заданій системі:

				1
	2	- 1	3	- 3
	3	2	- 4	- 3
	1	2	- 3	- 2

Виберемо за розв’язувальний елемент і здійснимо жорданові перетворення. Спочатку залежну змінну замінимо незалежною змінною . Далі проведемо операції за вказаною вище схемою.

1. в елементах першого рядка жорданової таблиці змінюємо знак на протилежний;

2) елементи другого стовпця залишаємо без змін;

3) інші елементи жорданової таблиці обчислюються за правилом прямокутника:

4) всі одержані елементи ділимо на розв’язувальний елемент та

складаємо нову жорданову таблицю:

				1
	2	- 1	3	-3
	7	- 2	2	- 9
	5	- 2	3	- 8

Далі виберемо в цій таблиці розв’язувальний елемент , який стоїть в другому рядку та в третьому стовпці, і не дорівнює нулю. Змінну в жордановій таблиці замінимо змінною і здійснимо жорданові перетворення. Розв'язувальний елемент заміняємо одиницею, в інших елементах другого рядка змінюємо знак на протилежний, а елементи третього стовпця залишаємо без змін. Інші елементи обчислюємо за правилом прямокутника:

Обчислені елементи розділимо на розв’язувальний елемент і складемо жорданову таблицю:

				1
	–8,5	2	1,5	10,5
	–3,5	1	0,5	4,5
	–5,5	1	1,5	5,5

Залишилося незалежну змінну замінити залежною змінною . Це можливо, тому що елемент одержаної таблиці не дорівнює нулю. Виберемо його за розв'язувальний і здійснимо ще один крок жорданових перетворень.. Змінну в жордановій таблиці замінимо змінною . Розв'язувальний елемент заміняємо одиницею, в інших елементах третього рядка змінюємо знак на протилежний, а елементи першого стовпця залишаємо без змін. Інші елементи обчислюємо за правилом прямокутника:

Розділивши всі елементи на розв’язувальний елемент ( , складемо нову жорданову таблицю:

				1
	17/11	5/11	-9/11	2
	7/11	4/11	–5/11	1
	–2/11	2/11	3/11	1

Далі покладаємо і одержуємо розв’язок системи рівнянь: . Відмітимо, що для знаходження розвязку в останній таблиці достатньо підрахувати тільки вільні члени .