53

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Б.Г. Пелешенко

ОКРЕМІ ПИТАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Матриці, визначники, системи алгебраїчних рівнянь та екстремуми функцій

Навчальний посібник для студентів вищих учбових закладів

Дніпропетровськ 2008

Матриці, визначники, системи алгебраїчних рівнянь та екстремуми функцій. Навчальний посібник / Дніпропетровський державний аграрний університет. Дніпропетровськ, 2008. 98с.

Поданий теоретичний матеріал з питань лінійної алгебри та знаходження екстремумів функцій однієї та двох змінних, що входять до програми курсу вищої математики. Розглянуті детальні розв'язки достатньої кількості прикладів та задач, наведені завдання для самостійної роботи студентів. Навчальний посібник розрахований на студентів технічних та економічних спеціальностей вищих учбових закладів .

Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор М.П. Тіман;

докт. тех. наук, професор О. А. Рядно

Вступ

Питання вищої математики, що стосуються теорії матриць, визначників, систем лінійних алгебраїчних рівнянь, екстремумів функції однієї чи кількох змінних відіграють важливу роль при моделюванні динамічних систем, розв’язуванні задач оптимізації, багатьох інших задач як теоретичного, так і прикладного характеру. Ці питання є базисом для вивчення математичного програмування, математичного моделювання та інших дисциплін, що вивчаються в вищих учбових закладах. У підручниках з вищої математики для вищих учбових закладів ці питання розкидані в різних місцях і тому в студента не завжди створюється цільне уявлення про основні теоретичні положення. Крім цього, приводиться мало задач прикладного характеру.

В навчальному посібнику викладені теоретичні питання з матричного обчислення, теорії визначників, систем лінійних алгебраїчних рівнянь та знаходження екстремумів функції однієї та двох змінних. Для кращого їх засвоювання приведені приклади, що ілюструють поняття та методи теорії, подані розв'язки прикладів і практичних задач з детальним аналізом. Приведені приклади і задачі для самостійної роботи студентів.

Мета видання даного методичного посібника - подати послідовний, зв'язаний виклад теорії екстремумів функції однієї і кількох змінних;

допомогти студентам засвоїти методи знаходження екстремумів функції при розв'язуванні прикладів і задач; показати важливість цих тем і різноманітність можливостей їхнього застосування при розв'язуванні прикладних задач.

Частина 1. Елементи лінійної алгебри

Глава 1. Матриці та дії над ними

Прямокутну таблицю дійсних чисел, яка складається з m рядків і n стовпців вигляду:

(1.1)

називають прямокутною матрицею порядку m x n. Числа а_{i j} (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n) є елементами матриці; перший індекс і елемента a_{i j} позначає номер рядка, а другий індекс j - номер стовпця, в якому розміщений елемент.

Матрицю вигляду (1.1) скорочено будемо позначати через А{a_{i j}} (і = 1,2,..., m; j = 1,2,...,n). Дві матриці одного порядку A{a_{i j}}, B{b_{i j}} вважаються рівними (А=В), якщо a_{i j} = b_{i j} для всіх і = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n.

Матрицю А{a_{i j}} називають квадратною порядку n, якщо кількість її рядків дорівнює кількості стовпців: m = n. Матриці

,

є відповідно матрицями другого і третього порядків. Матрицю, у якої всі елементи дорівнюють нулю, називають нульовою матрицею і позначають символом . Наприклад, матриці

,

є нульовими матрицями відповідно третього порядку та порядку 3 х 4.

Матрицю, яка складається з одного стовпця, називають матрицею-стовпцем, а ту, що складається з одного рядка, називають матрицею-рядком.

Квадратну матрицю, у якої елементи а_{i i} (i=1,2,...,n) головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші – нулю, називають одиничною матрицею. Вона позначається символом Е.

Наприклад, матриці

, ,

є відповідно одиничними матрицями другого, третього, четвертого порядків. Квадратну матрицю, у якої всі елементи, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають трикутною матрицею. Матриці

, , є трикутними.

Розглянемо приклади використання матриць для компактних записів різноманітних даних в дослідженнях.

Приклад 1. Нехай в районі є три комбінати: К₁, К₂, К₃, продукція яких щоденно перевозиться в п^’ять магазинів: М₁, М₂, М₃, М₄, М₅. Необхідно вибрати матрицю перевезень продукції комбінатів у магазини так, щоб загальні витрати були найменшими.

Для розв^,язання цієї транспортної задачі потрібно визначити (якомога точніше) витрати на перевезення “одиниці вантажу” по кожному з 15 маршрутів (комбінат - магазин). Ці величини можна розташувати у вигляді матриці коефіцієнтів витрат

,

елементи а_{і j} (і=1,2,3; j=1,2,3,4,5) якої дорівнюють витратам на перевезення одиниці продукції комбінату К_i в магазин М_j.

Обсяг перевезень по кожному з маршрутів теж можна записати матрицею

,

де елементи в_{і j} (і=1,2,3,4,5; j=1,2,3) дорівнюють кількості одиниць продукції, що перевозять з комбінату К_j в магазин М_i.

Приклад 2. Допустимо, що при відгодівлі тварин використовуються корми чотирьох видів - 1,2,3,4.

Нехай вітамін А міститься в кількості С₁₁ у ваговій одиниці корму 1-го виду; в кількості С₁₂ - корму 2-го виду; С₁₃ -корму 3-го виду; в кількості С₁₄ - корму 4-го виду. Вітамін В міститься у ваговій одиниці кормів 1,2,3,4-го виду в кількостях, відповідно рівних С₂₁, С₂₂, С₂₃, С₂₄. Вміст вітаміну С у ваговій одиниці кормів 1,2,3,4-го виду виражається відповідно числами С₃₁, С₃₂, С₃₃, С₃₄. Тоді наступна матриця порядку 3 х 4 показує вміст вітамінів у кормах:

.