8.1.4. Регенеративный (обобщенный) цикл Карно

Оказывается, что не только у цикла Карно термический КПД определяется температурами горячего и холодного источников теплоты. Имеется множество обратимых циклов с изотермическими источниками теплоты, для которых термический КПД будет таким же, как и у цикла Карно. Для таких циклов процессы перехода с одной изотермы на другую должны быть эквидистантными, при этом рабочее тело на процессе с уменьшением энтропии передает теплоту рабочему телу на процессе с увеличением энтропии, т.е. греет само себя за счет внутренней теплоты. Эти циклы называются регенеративными (регенерация – восстановление, возобновление, возмещение и т.п.) или обобщенными циклами Карно. Последнее название объясняется тем, что таких циклов может быть сколь угодно много, а цикл Карно является их частным случаем.

Для доказательства вышеприведенного утверждения рассмотрим регенеративный обратимый цикл 1234 с изотермическими источниками теплоты (рис.8.10) и сравним его термический КПД с КПД цикла Карно 12АВ, имеющего такие же температуры источников теплоты Т₁ и Т₂.

П одвод внешней теплоты q₁ к рабочему телу в регенеративном цикле осуществляется на процессе 12, а отвод внешней теплоты q₂ осуществляется на процессе 34. Теплота q_р с процесса 23 обратимо передается на процесс 41. Это внутренняя теплота, она называется теплотой регенерации, поскольку рабочее тело греет само себя. Теплота процесса 23 равна по модулю теплоте процесса 41, следовательно, в Т,s- диаграмме площади под этими процессами одинаковы, а сами процессы представляют собой эквидистантные кривые. Эти кривые могут иметь любую конфигурацию.

Поскольку в Т,s- диаграмме процесс 23 эквидистантен по горизонтали процессу 41, то отрезок 12 равен отрезку 34 и отрезку ВА. Следовательно, у обоих циклов одинаковые q₁ и q₂, а соответственно равны _t и η_t=1-Т₂/Т₁, т.е. цикл 1234 эквивалентен циклу Карно 12АВ.

Более простое доказательство равенства отрезков 12 и 34 а соответственно и равенство КПД этих циклов следует из равенства по модулю изменений энтропий горячего и холодного источников теплоты для всех обратимых циклов: s₁-s₂=-(s₃-s₄). Это будет показано при рассмотрении обратимого преобразования теплоты в работу.

Дадим определение регенеративного (обобщенного) цикла Карно.

Регенеративным (обобщенным) циклом Карно называется любой обратимый цикл, осуществляемый между двумя источниками теплоты с постоянными температурами.

Регенерация нашла широкое применение в паротурбинных и газотурбинных установках. Естественно, в реальных циклах невозможно осуществить обратимую передачу теплоты q_p c одного процесса рабочего тела на другой (в обратимом теплообменнике поверхность нагрева должна иметь бесконечно большую величину), но принцип регенеративного теплообмена позволяет частично приблизить КПД данного реального цикла к КПД цикла Карно, имеющего такие же источники теплоты.

8.1.5. Теорема Карно

Сади Карно доказал очень важное свойство предложенного им цикла, которое получило название теоремы Карно и было сформулировано им в следующем виде:

термический КПД обратимого цикла, осуществляемого между источниками теплоты с постоянными температурами, не зависит от свойств рабочего тела, при помощи которого этот цикл осуществляется.

Данное утверждение очевидно для цикла Карно с рабочим телом в виде идеального газа, поскольку его КПД зависит только от температур горячего и холодного источников теплоты (η_t=1-Т₂/Т₁). Однако КПД такого цикла Карно вывел на основании уравнений идеального газа для изотермических и адиабатных процессов. Определение энтропии реального газа как функции состояния нами пока дано голословно, без доказательств. Поэтому изображать цикл Карно в Т,s- диаграмме для реального газа и делать какие - либо заключения о его КПД применительно к реальным рабочим телам пока преждевременно.

Д оказательство теоремы Карно ведется методом от противного. Принимаются два источника теплоты с постоянными температурами: горячий – с Т₁ и холодный – с Т₂. Используя эти источники теплоты, предположим, что две машины осуществляют обратимый цикл Карно (рис.8.11), который для первой машины соответствует циклу двигателя – прямой цикл, а для второй машины – циклу теплового насоса – обратный цикл. Причем в качестве рабочего тела в первой машине используется идеальный газ, а во второй – реальное вещество, например водяной пар. Обозначим КПД газового цикла как η_t, а КПД парового цикла – η_t^*.

Примем одинаковыми по модулю величины теплоты горячего источника Q₁ для обоих циклов, то есть сколько теплоты подводится в газовый цикл двигателя, столько же теплоты производится в паровом цикле теплового насоса. Таким образом, получается, что горячий источник теплоты в нашей системе, состоящей из двух машин, исключается.

Предположим, что теорема Карно не верна и КПД газового цикла больше, чем КПД парового цикла (η_t>η_t^*). В соответствии с этим предположением работа, произведенная газовым циклом, L будет больше работы L^*, затраченной на осуществление парового цикла:

L = Q₁η_t , L^* = Q₁η_t^*, ΔL = L - L^* = Q₁(η_t - η_t^*) > 0.

Таким образом оказалось, что в системе при использовании только одного холодного источника теплоты была получена работа. Это противоречит второму закону термодинамики, следовательно, η_t не может быть больше η_t^*.

Таким же способом можно доказать, что η_t^* не может быть больше η_t. Для этого достаточно поменять местами рабочие тела в машинах.

В результате проведенного анализа делаем вывод, что КПД обратимых циклов Карно рассматриваемых машин могут быть только одинаковыми, т.е. эти КПД не зависят от свойств рабочего тела. Это и требовалось доказать.