Примеры

Задание 1: Решить уравнение: .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Отсюда следует, что , . Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (21.3) запишется так: .

Задание 2: Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение: Составим характеристическое уравнение . Решая его, получим, , . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , то есть .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных величин и . Подставив в общее решение значения и , получим .

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения и , имеем , отсюда следует, что . Из данного выражения находим: , .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Задание 3: Решить уравнение .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , . Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; поэтому согласно формуле (21.4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .

Задание 4: Найдите частное решение уравнения , если и при .

Решение: Так как характеристическое уравнение имеет равные действительные корни , то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

.

Дифференцируя общее решение, имеем

.

Подставив начальные данные в выражение для и , получим систему уравнений

, или , откуда и . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Задания для практической работы

1. Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Найдите частные решения уравнений:

1) ; и при ;

2) ; и при ;

3) ; и при .

3. Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

4. Найдите частные решения уравнений:

1) ; и при ;

2) ; и при .

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями второго порядка?

2. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка?

3. Какой вид имеет характеристическое уравнение? Для чего необходимо его нахождение?

4. Какие случаи возможны при нахождении общего решения дифференциального уравнения второго порядка?

Рекомендуемая литература: 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №22

Тема: Нахождение суммы ряда по определению. Исследование сходимости положительных рядов

Цель: Формирование навыков нахождения суммы ряда по определению и исследования сходимости положительных рядов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Числовым рядом называется сумма вида

, (22.1)

где числа , , , …, , …, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы , , , …, , составленные из первых членов рядя (22.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …, …. Если при бесконечном возрастании номера частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, то есть или . Эта запись равносильна записи .

Если частичная сумма ряда (22.1) при неограниченном возрастании не имеет конечного предела (в частности, стремится к или к ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение при достаточно большом значении является приближенным выражением суммы ряда .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, то есть , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Для знакоположительных числовых рядов имеет место признак сравнении, при помощи которого можно установить сходимость или расходимость.

Признак сравнения. Если члены положительного ряда

, (22.2)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

, (22.3)

то из сходимости ряда (22.3) следует сходимости ряда (22.2), а из расходимости ряда (22.2) следует расходимость ряда (22.3).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используются геометрическая прогрессия , которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.