Примеры

Задание 1: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2: Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение: Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

; ,

или , .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной величины подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

. ()

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ; , (произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ; .

Зная и , теперь получим общее решение данного уравнения:

.

Задания для практической работы

1. Найдите общее решение уравнений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1) ; при ;

2) ; при ;

3) ; при ;

4) ; при .

3. Найдите общие решения уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?

5. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?

6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

Рекомендуемая литература: 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №21

Тема: Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Цель: Формирование навыков решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

, (21.1)

где и - постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (21.1) составляется характеристическое уравнение

, (21.2)

которое получается из уравнения (21.1) заменой , и на соответствующие степени , причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (21.1) строится в зависимости от корней и характеристического уравнения (21.2). Здесь возможны три случая.

I случай: Корни и - действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (21.1) имеет вид

. (21.3)

II случай: Корни и - действительные и равные: . Тогда общее решение уравнения (21.1) записывается так:

. (21.4)

III случай: Корни и - комплексно – сопряженные: , . В этом случае общее решение уравнения (21.1) записывается следующим образом:

. (21.5)