Общие требования к оформлению и выполнению практических работ

Форма отчетности:

1. работы требуется выполнять в отдельной тетради для практических работ;

2. каждая работа должна содержать:

   • номер и название практической работы;

   • цель работы;

   • условия заданий;

   • подробное решение заданий.

Критерии оценки практических работ

«5» - работа выполнена в заданное время, самостоятельно, с соблюдением последовательности, качественно и творчески;

«4» - работа выполнена в заданное время, самостоятельно, с соблюдением последовательности, при выполнении отдельных операций допущены небольшие отклонения;

«3» - работа выполнена в заданное время, самостоятельно, с нарушением последовательности, отдельные операции выполнены с отклонением от образца (если не было на то установки); работа оформлена небрежно или не закончена в срок;

«2» – студент самостоятельно не справился с работой, последовательность нарушена, при выполнении операций допущены большие отклонения, работа оформлено небрежно и имеет незавершенный вид.

Практическая работа №19

Тема: Вычисление повторных и двойных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления двойных интегралов

Время выполнения: 4 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости задана непрерывная функция , где точка . Разобьем эту область произвольным образом на частичных плоских ячеек , имеющие площади . В каждой такой ячейке выберем по одной произвольной точке и вычислим значения функции во взятых точках. Составим так называемую интегральную сумму функции по области :

. (19.1)

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы (1) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех ячеек данного разбиения:

(19.2)

Диаметром фигуры называется наибольшее из расстояний между ее точками.

Основные свойства двойного интеграла

1. Двойной интеграл по области от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций по этой же области:

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

.

3. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, то есть если область состоит из двух непересекающихся областей и , то

.

Примеры

Задание 1: Вычислить повторный интеграл .

Решение: Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной , считая постоянным:

.

Задание 2: Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной прямыми , , и (рис. 1).

Решение: Область является простой относительно осей и (рис. 1), поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формул или . Сначала вычислим двойной интеграл по первой формуле: . Вычислив внутренний интеграл по переменной при постоянном , находим

. Подставив это выражение во внешний интеграл, получим .

Т еперь вычислим двойной интеграл по второй формуле . Найдем внутренний интеграл: . Далее найдем внешний интеграл: , то есть получили тот же ответ.