7.4 Схема гибели/размножения.

Итак, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели/размножения».

Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из соседних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждыми из соседних состояний – правым и левым, а крайние состояния S0 и Sn только с одним соседним состоянием (рис.7.9).

₀₁ ₁₂ _n-1n

₁₀ ₂₁ _{n n-1}

Рис. 7.9. Граф состояний схемы гибели/размножения

Термин «схема гибели/размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Такая схема часто встречается в теории массового обслуживания.

Предположим, что все потоки, переводящие систему по стрелкам графа – простейшие. Составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое и число состояний – конечно).

Для первого состояния S0 имеем: _01*p₀ = _10*p₁ (7.4)

Для второго состояния S1: (₁₂₊_10)*p₁ = _01*p₀₊_21*p₂ (7.5)

Подставляя (7.4) в (7.5), получим: _12*p₁ = _21*p₂

Далее, совершенно аналогично _23*p₂ = _32*p_3, и вообще

_{k-1 k*}p_k-1 = _{k k-1*}p_k, где k=0,1…n .

И тоговая система уравнений имеет вид (7.6):

_01*p₀ = _10*p₁

_12*p₁ = _21*p₂

_{……………………} (7.6)

_{k-1 k*}p_k-1 = _{k k-1*}p_k

_{n-1 k*}p_n-1 = _{n n-1*}p_n

Кроме этого, учтем нормировочное условие р₀+р₁+р₂+_….+р_n=1.

Решив эту систему, получаем, что для любого k (от 1…n)

р_k= * * … * * р₀

В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева – направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе – произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk).

Таким образом, все вероятности состояний выражены через одну из них – р₀. Подставим эти выражения в нормировочное условие:

р₀*(1+ + + + … … ) = 1 (7.7).

Отсюда р₀ = (1+ + + + … + … ) ^{– 1}

Все остальные вероятности выражены через р₀ (коэффициенты в них при р₀ уже вычислены при расчете р₀ – последовательные члены ряда, стоящего после 1.

7.5 Формула Литтла.

Выведем важную формулу, связывающую для предельного стационарного режима среднее число заявок L_сист, находящихся в системе массового обслужи­вания, и среднее время пребывания заявки в системе W_сист.

П усть дана любая система массового обслуживания и связанные с ней два потока событий: поток заявок, прибывающих в систему, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в систему за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность .

Пусть Х(t) – число заявок, прибывших в СМО до момента t, Y(t) – число заявок, покинувших систему до момента t. И та, и другая функция являются слу­чайными и меняются скачком: в моменты прихода заявок Х(t) увеличивается на 1, Y(t) уменьшается на 1 в моменты ухода заявки.

На графике рис.7.10 изображены функции Х, Y. Обе линии – ступенчатые; верхняя – Х(t), нижняя – Y(t). Очевидно, что для любого момента времени их разность Z(t) = Х(t) – Y(t) – есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т и вычислим для него сред­нее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

Lсист=

Но этот интеграл есть не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на графике (7.10). Фигура состоит из прямоугольников, высота которых равна 1, а основание – равно времени пребывания соответствующей заявки в системе. Обо­зна­чим эти времена t1, t2, t3… Правда, в конце промежутка Т некоторые прямо­угольники не войдут полностью в заштрихованную фигуру, но при больших значениях Т эти мелочи не будут играть роли.

Таким образом, можно считать, что =  ti , где сумма распростра­няется на все заявки, пришедшие за время Т. Разделим правую и левую часть данного выражения на Т и получим Lсист=  ti (*). Разделим и умножим правую часть выражения (*) на  и получим Lсист=  ti. Но Т -- есть не что иное, как среднее число заявок, пришедшее за время Т. Если мы разделим сумму всех времен ti на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wcист. Итак,

L_сист= W_cист  W_cист= L_сист

Это и есть формула Литтла: для системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе рав­но среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.