7.2.2 Потоки событий

Потоки событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени t (например: вызовы телефонной станции, поток отказов ЭВМ; поток железнодорожных составов и т. д.)

Поток событий можно изобразить рядом точек на оси времени (t) (рис.7.5). (Только не забываем, что положение каждой точки случайно и на рисунке приведена только какая-то реализация потока).

^t

Рис. 7.5 Поток событий

События, образующие поток, само по себе вероятностями не обладают; вероятностями обладают другие, производные от них, события, например: на участок времени t попадает ровно 2 события; или на участок времени t попадает хоть одно событие; или промежуток времени между двумя соседними событиями будет не меньше t и т.д.

Важной характеристикой потока является его интенсивность – среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность может быть как постоянной (=const), так и переменной, зависящей от времени t. Например, поток автомобилей днем интенсивней, чем ночью, в часы пик – интенсивней, чем в другие часы.

Поток событий, называется регулярным, если события следуют одно за другим, через определенные, равные промежутки времени, например, конвейер. На практике чаще встречаются потоки нерегулярные, со случайными интервалами.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные харак­теристики не зависят от времени. В частности, интенсивность  стацио­нар­ного потока должна быть постоянной. Это не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно; нет, поток неизбежно имеет какие-то сгущения и разрежения. Но для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины 1 может попасть больше, на другой – меньше событий, но среднее число событий, приходящихся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут считаться стационарными. Например, поток вызовов на АТС с 13 до 14 часов практически стационарен; тот же поток в течение суток уже не стационарен.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени 1 и 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. Например, поток пассажиров, входящих в метро – практически не имеет последействия. А поток покупателей, отходящих от прилавка с купленными товарами, уже имеет последействие хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания продавцом. Так же обстоит дело и с потоком поездов, прибывающих на станцию: между ними всегда есть интервал безопасности t_без. Но если минимальный интервал между событиями много меньше среднего интервала между ними t_min <<1/, наличием последействия в ряде случаев можно пренебречь.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по несколько сразу. Например, поток клиентов к врачу обычно ординарен, а поток клиентов в ЗАГС – нет. Поток поездов, приходящих к станции – ординарен, а поток вагонов – нет. Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый участок времени t двух и более событий можно пренебречь.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» обусловлено тем, что процессы, связанные с такими потоками, имеют наиболее простое математическое описание.

(Примечание. Между прочим, самый простой на первый взгляд регулярный поток не является простейшим, так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой функциональной зависимостью. Без специальных усилий по поддержанию его регулярности такой поток обычно не создается, как правило, это техногенный процесс.)

Простейший поток играет среди других потоков особую роль, в чем-то подобную роли нормального распределения среди других законов распределения. При наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков и получается поток, близкий к простейшему.

Д ля простейшего потока с интенсивностью интервал времени между сосед­ними событиями имеет так называемое показательное распределение с плот­ностью f(t)=e^-t (t>0) (рис.7.6).

Величина  называется парамет­ром показательного закона. Для слу­чай­ной величины Т, имеющей показательное распределение, матема­ти­че­ское ожидание есть величина, обратная параметру (mT=1/), а среднеквадратичное отклоне­ние равно математическому ожиданию Т = mT = 1/. В теории вероятности в качестве «меры случайности» неотрицательной случайной величины рассматривается так называемый коэффициент вариации (ковариация) vT=Т /mT.

Для показательного распределения vT=1, то есть для простейшего потока коэффициент варьирования интервалов между событиями равен 1. Для регулярного потока, у которого интервал между событиями не случаен Т=0, коэффициент вариации vT =0.

Для большинства потоков событий, встречающихся на практике, коэффициент вариации интервалов находится в диапазоне (0,1), и может служить «мерой регулярности» потока: чем ближе к 0, тем регулярнее поток.

Поток событий называется рекуррентным (потоком Пальма), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиями Т1, Т2, Т3… представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением. Пример: технический элемент работает непрерывно до отказа; отказавший элемент мгновенно заменяется новым. Если отдельные экземпляры элемента выходят из строя независимо друг от друга, то поток отказов (он же поток замен, поток восстановлений) будет рекуррентным.

Очевидно, что простейший поток есть частный случай рекуррентного, когда интервалы между событиями имеют показательное распределение. Другим частным случаем (вырожденным) является регулярный поток, где интервалы вообще не случайны, постоянны.

Целую гамму рекуррентных потоков, обладающих разной степенью упорядоченности, можно получить «просеиванием» простейшего потока.

Пример: в какое-то учреждение поступает простейший поток посетителей; у входа стоит страж, направляющий первого посетителя к первому столу, второго – к второму и т.д. Если столов n, то на каждый из них поступает так называемый поток Эрланга n-го порядка. Такой поток получается из простейшего, если сохранять в потоке каждое n-е событие, а промежуточное – выбрасывать.

Простейший поток – поток Эрланга 1-го порядка. При таком просеивании коэффициент вариации интервалов уменьшается; при увеличении порядка n поток Эрланга приближается к регулярному. Коэффициент вариации интервалов между событиями потока Эрланга N-го порядка равен =1/

Потоки Эрланга образуют целую гамму потоков с различной степенью упорядоченности – от полного беспорядка (простейший поток) до полной упорядоченности – регулярный поток.

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние – простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. (Простейший поток не обладает последействием; в нем будущее не зависит от прошлого).

Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредственный переход в другое состояние Sj, то это представляют следующим образом: на систему в состоянии Si действует простейший поток событий, переводящий ее по стрелке Si Sj. Как только появляется первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из Si в Sj. Для наглядности удобно на графе состояний у каждой стрелки проставить интен­сив­ность того потока событий, который переводит систему по данной стрелке. Граф состояний, где указаны все интенсивности, называется размеченным.