5.2. Стратегическое планирование имитационного эксперимента

5.2.1. Цель стратегического планирования эксперимента

Цель стратегического планирования эксперимента – получение максимального объема информации об исследуемой системе в каждом эксперименте (наблюдении). Другими словами, при каком сочетании уровней внутренних и внешних факторов может быть получена наиболее полная и достоверная информация о поведении системы.

При стратегическом планировании должны быть решены следующие основные задачи:

идентификация факторов;

выбор уровней факторов.

Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной (или показатель эффективности).

По итогам идентификации все факторы делятся на 2 группы – первичные и вторичные. Первичные факторы – это те, в исследовании влияния которых заинтересован сам экспериментатор непосредственно. Вторичные факторы – те, что не являются предметом исследования, но их влиянием нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых требований:

• уровни факторов должны перекрывать весь возможный диапазон его изменений;

• общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования.

Отыскание компромиссного решения – это и есть задача стратегического планирования эксперимента.

Замечания по выбору уровней факторов.

Для любого i-ого фактора следует выбрать границы x_i,min и x_i,max области определения фактора, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта. После определения таким образом некоторой локальной области G заданного факторного пространства, необходимо определить подобласть в G для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня x_i0 и интервала варьирования x_i. В качестве исходной точки x_i0 выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе. Причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов x_i,min и x_i,max. На выбор интервала варьирования x_i накладываются естественные ограничения:

снизу: интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора;

сверху: верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения G.

Различают два вида активного эксперимента: однофакторный и многофакторный.

В первом случае применяют поочередное варьирование одной из переменных, оставляя остальные на постоянных уровнях. Это так называемый метод Гаусса - Зейделя, при котором требуется проведение большого числа опытов, что, однако, не позволяет определить эффекты парных взаимодействий и не гарантирует при решении задачи поиска оптимума достижения истинного экстремума.

Более эффективным является активный многофакторный эксперимент (далее именно он будет рассматриваться как собственно активный факторный эксперимент), при котором в каждом опыте производится варьирование всеми переменными по определенному плану, что позволяет существенно сократить число опытов.

5.2.2. Способы построения стратегического плана

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для k факторов можно определить как N=L₁*L₂*L₃*…*L_k, где L_i – число уровней i-го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то N=L^k (L – число уровней).

Недостаток ПФЭ – большие временные затраты на подготовку и проведение. Например, в модели отражены 3 фактора, влияющие на значение ПЭ. Каждый фактор имеет 4 возможных уровня (значения). План ПФЭ N=4³=64 эксперимента.

Если при этом каждый эксперимент длится хотя бы одну минуту (с учетом времени на изменение значения факторов), то на однократную реализацию ПФЭ требуется более 1 часа.

Использование ПФЭ целесообразно, если в ходе имитационного моделирования исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели.

Если такие взаимодействия считают отсутствующими, или их эффектом пренебрегают, проводят частичный факторный эксперимент (ЧФЭ).

Рассмотрим некоторые планы ЧФЭ.

Рандомизированный план – предполагает выбор сочетания уровней факторов для каждого прогона случайным образом. При использовании этого метода отправной точкой в формировании плана является число экспериментов, которое считает возможным (или необходимым) провести исследователь.

Латинский план («Латинский квадрат») – используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным и несколькими вторичными факторами.

Суть такого планирования. Если первичный фактор имеет L уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается L уровней. Выбор комбинации уровней факторов рассмотрим на примере.

Пример. Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных фактора В и С, число уровней факторов L=4. Соответствующий план представляется в виде квадратной матрицы LxL (4х4) относительно уровней фактора А. Матрица строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора встречался только один раз. В результате имеем план экспериментов (табл.4.1) , требующий 4х4=16 прогонов, в отличие от ПФЭ (4³=64 прогона).

Таблица 5.1. План «Латинский квадрат»

Значение В	Значение С
	С1	С2	С3	С4
В1	А1	А2	А3	А4
В2	А2	А3	А4	А1
В3	А3	А4	А1	А2
В4	А4	А1	А2	А3

Эксперимент с изменением факторов по одному. Суть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все L уровней, а остальные (n-1) факторов поддерживаются постоянными. Такой план обеспечивает исследование эффектов каждого фактора в отдельности, и требует всего N=L₁+L₂+L₃+…+L_n прогонов (L_i – число уровней i-го фактора).

Для рассмотренного выше примера N=4+4+4=12.

Одна из возможных реализаций такого плана приведена в таблице 5.2.

Таблица 5.2 ЧФЭ с изменением факторов по одному

В1,С1	А2,С2	А3,В3
А1	В1	С1
А2	В2	С2
А3	В3	С3
А4	В4	С4

Такой план применим (как и любой ЧФЭ) только при условии отсутствия взаимодействия между факторами.

Дробный факторный эксперимент. Каждый фактор принимает значения только двух уровней – нижнего (-1) и верхнего (+1). Промежуточные уровни не рассматриваются. Общее число вариантов эксперимента N=2^k, где k – число факторов. Матрицы планов эксперимента для k=2 и k=3 приведены в таблицах 5.3 и 5.4 соответственно.

Таблица 5.3. План эксперимента (k=2)				Таблица 5.4. План эксперимента для k=3
№ экспе-римента	Значения факторов			№ экспе-римента	Значения факторов
	Х1	Х2			Х1	Х2	Х3
1	-1	-1		1	-1	-1	-1
2	-1	+1		2	-1	-1	+1
3	+1	-1		3	-1	+1	-1
4	+1	+1		4	-1	+1	+1
				5	+1	-1	-1
				6	+1	-1	+1
				7	+1	+1	-1
				8	+1	+1	+1

Для такого вида факторного эксперимента имеется возможность определить коэффициенты, стоящие не только непосредственно при одиночных значениях факторов в уравнении регрессии, но и коэффициенты для компонент, отражающих взаимодействие различных факторов (табл.5.5).

Таблица 5.5

№ опыта	Значения факторов
	X1	X2	X3	X1X2 *)	X1X3	X2X3	X1X2X3
1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
2	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
3	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
4	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
5	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
7	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

*) Значения переменных в столбцах взаимодействий получаются путем перемножения соответствующих переменных, составляющих данное произведение.

Планы, построенные по такому принципу, обладают свойствами симметричности, ортогональности, нормированности, обеспечивая повышение качества проводимых экспериментов.