5.Планирование модельных экспериментов

5.1 Задачи планирования экспериментов. Стратегическое и тактическое планирование.

Для правильной организации модельного эксперимента исследователь должен:

• помнить, к какому классу относится моделируемая система (статическая или динамическая, детерминированная или стохастическая);

• определить, какой режим работы его интересует: стационарный (установившийся) или нестационарный (переходный);

• необходимо знать, в течение какого промежутка времени следует наблюдать за поведением (функционированием) системы;

• оценить, какой объем испытаний (т.е. повторений экспериментов) сможет обеспечить требуемую точность оценок исследуемых характеристик системы (в статистическом смысле).

Можно взять от модели все по максимуму: исследовать работу во всех режимах, для всех возможных сочетаний внешних и внутренних параметров и все эксперименты повторять по тысяче раз. Однако польза от такого моделирования невелика: 1) полученные данные будет сложно обработать и проанализировать; 2) принять с ними решение практически невозможно. Да и затраты времени на такое моделирование окажутся слишком велики.

Таким образом, планирование экспериментов преследует две цели:

сокращение объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов;

повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности.

Планирование экспериментов основано на представлении объекта как “черного ящика” (рис.5.1), т.е. в процессе исследования изучается влияние входной переменной (фактора) x на выходную переменную (реакцию, отклик) y.

Для того, чтобы получить статическую характеристику объекта с k входами: Х(х₁,...,х_k) и одним выходом y в некоторой области D_x, необходимо задавать поочередно на входе объекта значения входным переменным Х⁽¹⁾,..., Х^(N) D_x, выдерживая каждое из них в течение времени t T, где Т - оценка времени переходного процесса по всем каналам.

Рис. 5.1 Представление объекта моделирования

Измеряя на выходе соответствующие установившиеся значения y, получим таблицу значений выходной переменной y₁,..., y_N. Значения Х⁽ⁱ⁾ и соответствующие им y_i задают в табличном виде искомую статическую характеристику.

Для построения аналитического вида статической характеристики могут быть использованы соответствующие методы аппроксимации функции нескольких переменных.

Факторное пространство – это множество внешних и внутренних параметров модели, значение которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента.

В общем случае факторы могут быть не только количественного, но и качественного вида. Например, при оценке пользовательского интерфейса такими факторами может быть цветовая палитра, степень подготовки пользователей и т.д. Поэтому значения факторов называют уровнями. Если при проведении эксперимента исследователь может изменять уровни факторов, эксперимент называется активным, в противном случае – пассивным.

Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня. Точка в факторном пространстве, соответствующая нулевым уровням всех факторов, называется центром плана.

Интервалом варьирования фактора называется некоторое число J, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание – нижний уровень.

Определенный вектор значений уровней варьируемых факторов задает одно из возможных состояний рассматриваемой системы, и этому состоянию соответствует определенная точка в многомерном факторном пространстве.

Функциональная связь между факторами и реакцией называется функцией реакции (чаще называемой функцией реакции или функцией отклика), а геометрический образ этой функции есть поверхность реакции (поверхность отклика).

Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основного) выходного скалярного параметра Y, который называется наблюдаемой переменной. Если моделирование используется как инструмент принятия решений, то в роли наблюдаемой переменной выступает показатель эффективности.

При этом предполагается, что значение наблюдаемой переменной, полученное в ходе эксперимента, складывается из двух составляющих:

Y=f(x)+ e(x), где

f(x) – функция отклика (неслучайная функция факторов)

e(x) – ошибка эксперимента (случайная величина)

х – точка в факторном пространстве (определенное сочетание уровней факторов).

Очевидно, что Y – случайная переменная, которая зависит от случайной величины е. Дисперсия Dy наблюдаемой переменной, которая характеризует точность измерений, равна дисперсии ошибки – Dy=De

Dy называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризует качество эксперимента. Эксперимент называют идеальным при Dy=0.

Так как на значение величины Y оказывают влияние стохастические воздействия разного рода, то форма связи между величинами X и Y определяется линией регрессии, показывающей, как в среднем изменяется величина Y при изменении входной величины X, и аппроксимирующая функция строится как функция регрессии

f(X, B) M[Y/X],

где B - неизвестные параметры уравнения регрессии.

В общем случае к факторам предъявляются следующие требования:

1) факторами могут быть либо входные, либо режимные переменные и именно они являются аргументами в искомой зависимости: y=f(X);

2) факторы есть количественные параметры, задаваемые численно в какой-либо системе единиц;

3) для численных значений факторов должна быть задана допустимая область их значений;

4) факторы должны быть линейно независимы.

Для выходных переменных необходимо соблюдение следующих условий.

1) уравнения связи между X и y должны быть разрешены относительно y и являться однозначной функцией входных и режимных переменных, что в свою очередь задает область определения выходных переменных;

2) выходные переменные должны быть линейно независимы между собой, в случае если их несколько.

В дополнение к этим условиям необходимо, чтобы целевая функция была выражена количественно и имела конкретный содержательный смысл.

Существует два варианта постановки задачи планирования эксперимента:

из всех допустимых выбрать такой план, который позволял бы получить наиболее достоверное значение функции отклика f(x) при фиксированном числе опытов;

выбрать такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика могла бы быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний.

Решение задачи в первой постановке называется стратегическим планированием, а во второй – тактическим планированием.