3.4 Моделирование случайных факторов

Д ля моделирования случайного события А, вероятность которого равна р_А, достаточно сформировать одно равномерно распределенное случайное число х (ррсч) (0,1). При попадании х в интервал (0, р_с] считают, что событие наступило, в противном случае – нет, т.е.

1, если х р_с 

^А= 0, если х р_с )

Рис. 3.1 Моделирование случайного события

Пусть, например, вероятность отказа ВС составляет р_о=0,3. Чтобы определить, возникнет ли событие (отказ) на очередном шаге моделирования, достаточно сгенерировать с помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел одно случайное число и сравнить его с вероятностью отказа (рис. 3.1).

Для моделирования полной группы несовместных случайных событий А={A₁, A₂, …A_N} с вероятностями р₁, р₂, p_N также достаточно одного значения х. Событие A_j из группы А считается наступившим, если выполняется условие

_{j-1 j}

А= Aj  p_i < x <  p_i; j=1,N (*)

^{i=0 i=0}

П ример. Предположим, что в каждый момент времени может происходить обращение к одному из 3-х модулей оперативной памяти ВС. Вероятности обращения к каждому из них р₁=0.3, р₂=0.5, р₃=0.2. Чтобы узнать, из какого именно модуля будут считаны данные, необходимо определить, в какой интервал попадает полученное от датчика случайное число х (рис.3.2).

Если группа событий не полна, то вводят фиктивное событие A_n+1 с вероятностью p_n+1, такой, что сумма вероятностей всех событий становится равной 1, т.е. дополняют группу до полной. После этого генерируют число х и проверяют условие (*). При А=A_n+1 считают, что ни одно из событий не наступило, система осталась в прежнем состоянии.

Для моделирования дискретных случайных величин (СВ) чаще всего используется метод последовательных сравнений. Число х последовательно сравнивают со значениями суммы р₁+р₂+…, где р₁ – вероятность наименьшего значения СВ, р₂ – вероятность следующего по величине значения и т.д. При первом же выполнении условия

_n

x< p_i , проверка прекращается и СВ принимает значение y_n.

ⁱ⁼¹

^{Пример. Случайная величина может принимать значения (3,7,10).}

^р₁^{(3)=0.7, р}₂^{(7)=0.2, р}₃^{(10)=0.1 Пусть х=0.528, тогда значение СВ равно 3. Для х=0.817 значение СВ – 7.}

Для моделирования непрерывных случайных величин упрощенный табличный метод основан на замене закона распределения СВ специальными расчетными соотношениями, которые позволяют вычислять значения СВ по значению ррсч(0,1). ^{Такие соотношения получены для всех наиболее распространенных распределений и приведены в справочной литературе.}

^{Например, для нормального закона распределения u=} (*), где x_i – ррсч (0,1); для показательного распределения u= - 1/*ln(х).

Пример1. Любая величина, зависящая от большого количества случайных факторов, может считаться распределенной по нормальному закону. Например, игра в «дартс». Координаты точек попадания дротика можно считать распределенным по нормальному закону, где m – координаты центра круга, а S -- отклонение от цели по осям. Пусть m=(0,0), Sx=Sy=5. Для моделирования очередной точки попадания надо получить две последовательности ррсч(0,1), по 12 чисел в каждой, и подставить их для каждой координаты в формулу для нормального закона распределения (*).

Пример 2. Доказано, что интервалы времени между отказами распределены по экспоненциальному закону. Чтобы в модели получить величину промежутка времени между двумя соседними отказами, достаточно сгенерировать одно ррсч(0,1) х и подставить его в формулу u= - 1/*ln(х)

В одной и той же ИМ могут фигурировать различные случайные факторы, распределенные по разным законам. Одни могут быть представлены как случайные события, а другие – как случайные величины. И если они все будут использовать один и тот же датчик случайных чисел, то с математической точки зрения их нельзя считать независимыми. В связи с этим, для моделирования каждого случайного фактора стараются использовать отдельный генератор.