21 Нелінійні емпіричні залежності

Залежності між властивостями об’єктів дослідження, отримані шляхом парних експериментів, можуть мати нелінійний характер. Апроксимація таких залежностей виконується методом найменших квадратів із використанням різноманітних аналітичних функцій. При виборі виду апроксимуючої функції слід ураховувати точність апроксимації, асимптотичну поведінку та зручність подальшого використання апроксимуючої функції.

Досить універсальною і зручною для використання функцією, яка часто вживається для апроксимації різних залежностей, є алгебраїчний поліном виду

. (28)

Значна кількість екстремумів (на одиницю менша від ступеня полінома K) зумовлює гнучкість отриманої кривої; тому на практиці рідко доводиться використовувати поліноми вище від 5–6 ступеня. Підбір параметрів A₀ … A_K полінома (28) реалізовано в багатьох прикладних програмах, у тому числі в текстовому процесорі EXCEL за допомогою операції „вставить линию тренда” в побудованій діаграмі типу „точечная”. Основним недоліком алгебраїчного полінома є непередбачуваність його асимптотичної поведінки, що не дозволяє використовувати функцію (28) поза межами області зміни дослідних точок, використаних для апроксимації.

У практиці апроксимації емпіричних нелінійних залежностей часто використовується сімейство двохпараметричних функцій, які шляхом певних перетворень приводяться до лінійних. Ці функції мають прості аналітичні вирази та цілком визначену асимптотичну поведінку і дозволяють описувати залежності різноманітного характеру, що й робить їх зручними для практичного використання. Деякі з них наведені в таблиці:

Функції		Обмеження області визначення	Лінеаризуючі перетворення		Зворотні перетворення параметрів
1
2
3
4
5		;
6		при

Перетворюючи дослідні значення X і Y за наведеними в таблиці формулами, вказані функції можна привести до лінійного виду , аналогічного (26). Лінійність перетвореного графіка свідчить про вдалий вибір виду апроксимуючої функції. Параметри a, b перетвореної лінеаризованої функції обчислюються за формулами (27), як це робиться у випадку лінійної регресії (26). Параметри A, B нелінійної апроксимуючої функції обчислюються шляхом зворотного перетворення параметрів, наведеного в останніх колонках тієї ж таблиці. Більшість вказаних нелінійних апроксимацій функцій можна підібрати з використанням табличного процесора EXCEL, виконавши команду „вставить линию тренда” на побудованій діаграмі типу „точечная”.

Для апроксимації нелінійних залежностей можна також використовувати функції довільного виду, обраного на основі аналізу особливостей поведінки дослідженого явища. Параметри таких функцій обчислюються згідно з методом найменших квадратів шляхом чисельної мінімізації суми квадратів відхилень дослідних точок від апроксимуючої функції. При використанні табличного процесора EXCEL слід реалізувати обчислення квадратів відхилень та їх суми при початкових значеннях параметрів, заданих в певних комірках електронної таблиці, а потім скористатися пунктом „поиск решения” меню „сервис”.

Таким же способом апроксимуються залежності однієї змінної від K аргументів: . Вид апроксимуючої функції обирається на основі досвіду та аналізу досліджуваного явища, а її параметри обчислюються шляхом мінімізації суми квадратів відхилень від дослідних точок.