Завдання для виконання

1.Нормальний розподіл

p(x)=(2)^1/2exp(-x ^2/2) , x(-, ). (1.2.2)

Алгоритм А1.

0. Зарезервовано константу с =2.

1. R=

2. =c₂.

3. U1=R cos, U2=R sin.

Алгоритм а2

1. V1=2₁-1, V2=2₂-1

2. s= (V1)²+(V2)²

3. Якщо s1, повернутися до п. 1

4. R= , U1=V1 R, U2=V2 R.

Обидва алгоритми реалізують <<метод полярних координат>>. Найчастіше алгоритм А2 більш ефективний.

Для моделювання нормального розподілу з параметрами m і = слід зробити перетворення U_i: U_i = m + U_i.

2.Логнормальний розподіл

p(x)= exp , x>0, m>0, >0. (1.2.3)

Алгоритм У1.

1. х=u (використовуючи А2).

2. V=m exp((x).

Тут u – стандартне нормальне число.

3. Експоненційний розподіл

p(x)=λ ( exp( - λx ), (λ>0, x>0. (1.2.4)

Алгоритм С1.

1. = -(ln )/

Алгоритм С2

1. Одержати ₁, ₂, ₃.

2. s = ln (₁ ₂) .

3. V₁= s , V₂=(-1)s.

Алгоритм С3

1. Одержати ₁, ₂, ₃, ₄, ₅.

2. Відсортувати (₄, ₅)( , ), причому ₄< ₅.

3. s=ln(₁ ₂ ₃) .

4. x₁= ₄ , x₂= - , x₃=1- .

5. V1=x₁s, V2=x₂s,V3=x₃s.

Ефективність цих трьох алгоритмів залежить від співвідношення трудомісткості операцій ln(·) і одержання α; вона може бути визначена експериментально для кожної ЕОМ.

4. Рівномірний розподіл

p(x)=1/(b - a), (1.2.5)

Алгоритм D1.

1. =a+(b-a).

5. Розподіл хі-квадрат

p(x)=x^{(v - 2)/2}exp(-x^2/2)/(2^v/2Г(v/2)), x0, (1.2.6)

де v – позитивне ціле <<число ступенів волі>>.

Алгоритм Е1.

Для парних v: 1. Згенерувати ₀, … , _v/2-1...

2. V=-2ln( _i).

Для непарних v: 1. Згенерувати ₀, … , _v/2-1...

2. V=-2ln( _i)+u², де u – нормально розподілене число.

6. Гамма-розподіл

p(x)=(x/b)^c-1exp(-x/b)/bГ(с), х0, (1.2.7)

де b – параметр масштабу (b>0); c – параметр форми (з>0).

Алгоритм F1.

0. Константа (>0 (мале машинозалежне число, для якого обов'язково 1,0 - (< 1.0).

1. v=[c] (ціла частина), з1= з – v, V1=0, V2=0.

2. Якщо з1<, то перейти до п. 8; якщо 1-1з<, те v=v+1 і перейти до п. 8.

3. Одержати _v+1, _v+2.

4. s₁= , s₂= .

5. s=s₁+s₂.

6. Якщо s₁>1, то перейти до п. 3.

7. V2=-s₁(ln _v+3)/s.

8. Одержати ₁, …, _v...

9. V1=-ln( _i).

10. V=b (V1+V2).

7. Бета-розподіл

p(x)=x^v-1(1 – x)^-1/B(v, ), x[0, 1], v>0, >0, (1.2.8)

де B(v, )= – бета функція.

Алгоритм G1.

1. За допомогою алгоритму F1 одержимо V1 з параметрами b=1, c=v.

2. За допомогою алгоритму F1 одержимо V2 з параметрами b=1, c=.

3. = V1/(V1+V2).

Алгоритм G2.

1. Одержати ₁, ₂.

2. s1= , s2= .

3. s=s1+s2, якщо s>1, перейти до п.1.

4. =s1/s.

8. Розподіл Вейбулла

p(x)=(cx^c-1/b^c)exp[-(x/b)^c], c>0, b>0, x0. (1.2.9)

Алгоритм H1.

1. W1=b(-ln )^1/c.

9. Розподіл Накагами

p(x)= ^mx^2m-1exp(- x²),x>0, (1.2.10)

де m – параметр форми;  - параметр масштабу .

Алгоритм Q1.

1. За допомогою алгоритму F1 одержати V з параметрами c=m, b=1.

2. W= .

10. Розподіл Райса

p(x)= exp(- )I₀( ), x>0, (1.2.11)

де а – параметр <<нецентральності>> (а>0);  – параметр масштабу.

Алгоритм R1.

1. Використовуючи А2, одержати U1, U2.

2. R=(a+U1)²+(U2)².

11. Трикутний розподіл (Симпсона)

p(x)= (1.2.12)

Алгоритм S1.

1. Одержати ₁, _2..

2. z1=a/2+₁(b-a)/2, z2=a/2+₂(b-a)/2.

3. s=z1+z2.

12. Розподіл Бернуллі

P{(=k}=kp+(1-k)q, k=0,1; q=1-p. (1.2.13)

Алгоритм X1.

1. Одержати .

2. Якщо <p, то =1; інакше =0.

13. Біноміальний розподіл

P{=k}= , k=0,1,2, … ,n... (1.2.14)

Алгоритм Y1.

1. V=, k=0, P1=qⁿ.

2. V=V-P1.

3. Якщо V<0, перейти до п.6.

4. P1=P1(n-k)p/(k+1)q.

5. k=k+1, перейти до п.2.

6. =k.

Алгоритм Y2.

1. s=0, k=1.

2. Одержати _k.

3. Якщо _k<p, то s=s+1.

4. k=k+1.

5. Якщо kn, перейти до п.2.

6. =s.

Алгоритм Y3(для малих р).

1. k=0, L=0.

2. Одержати _k.

3. L=L+(ln_k/lnq+1), k=k+1.

4. Якщо Ln, перейти до п.2.

5. =k-1.