Лекція №3 (частина 1). Зображення площин. Взаємне положення формоутворюючих елементів простору

План: Площина. Задання площини. Положення площин відносно площин проекцій. Сліди площини. Пряма і точка в площині. Прямі особливого положення в площині. Взаємне положення двох площин, прямої та площини. Перпендикулярність прямої і площини. Взаємоперпендикулярні площини. Паралельність площин. Побудова лінії перетину двох площин. Побудова точки перетину прямої і площини. Окремі і загальні випадки.

Виклад основного матеріалу:

Способи задання площини на комплексному кресленні

Площина – це безліч точок з двома вимірами. Визначником площині є три точки. Через одну і дві точки можна провести безліч площин, і тільки через три точки можна провести єдину площину. Площина безмежна, але якщо її обмежують будь-яким контуром, то вона називається відсіком.

На кресленику площина задається проекціями геометричних елементів, які повністю визначають її положення в просторі (рис. 3.1):

1. трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2. прямою і точкою, яка не лежить на цій прямій;

3. двома прямими, які перетинаються;

4. двома паралельними прямими;

5. трикутником чи іншою плоскою фігурою;

6. с лідами.

Р ис. 3.1

Сліди площини

У деяких випадках площину доцільно задавати не довільними прямими, що перетинаються, а прямими, по яких ця площина перетинає площини проекцій.

Слідом площини називається пряма, по якій ця площина перетинається з площиною проекцій. Позначають сліди відповідно h⁰, f⁰, p⁰. Ці прямі лежать у площині і перетинаються між собою в точках, які лежать на осях проекцій і є точками перетину площини з відповідними осями (горизонтальний і фронтальний сліди перетинаються в точці, яка лежить на осі Х₁₂). Ці точки називаються точками збігу слідів площини.

Д ля того, щоб побудувати слід площини необхідно і достатньо побудувати сліди двох прямих, які лежать в цій площині (рис. 3.2) (аb)  (h⁰f⁰).

Рис. 3.2

На рисунку 3.3 показано зображення площини на комплексному кресленні за допомогою слідів h⁰ _α f⁰ _α.

Рис. 3.3

Лінію h⁰ _α = α  П₁ називають горизонтальним слідом площини α.

Фронтальна проекція h⁰ _α2 горизонтального сліду h⁰ _α співпадає із осею х проекцій.

Лінію f ⁰ _α = α  П₂ називають фронтальним слідом площини α. Горизонтальна проекція f ⁰ _α1 фронтального сліду f ⁰ _α співпадає із осею х проекцій.

Точка х = h⁰  f ⁰ називається точкою збігу слідів, вона належить осі проекцій.

Положення площини в просторі відносно площин проекцій

За розташуванням у просторі розрізняють площини особливого і загального положення. Площини часткового положення поділяють на площини рівня і проеціюючі.

П лощиною рівня називається площина, яка паралельна одній і перпендикулярна до двох інших площин проекцій. Розрізняють три види площин рівня (рис. 3.4): горизонтальну (АВС) – паралельну площині проекцій П₁; фронтальну (DEF) – паралельну площині проекцій П₂; профільну (КМN) – паралельну площині проекцій П₃.

Рис. 3.4

Розглянемо проекційні ознаки площин рівня:

1) Довільна фігура, що лежить у площині рівня, проеціюється в натуральну величину на ту площину, до якої ця площина рівня паралельна. На дві інші площини проекцій фігура проеціюється відрізками прямих, які займають вертикальне або горизонтальне положення. Ці прямі називаються слідами-проекціями площин рівня.

2) Сліди-проекції площин рівня мають збиральну властивість, яка полягає в тому, що проекції точок, ліній, фігур, що лежать у цих

площинах, розташовуються на слідах-проекціях.

3) Не обмежену певною фігурою площину рівня можна задавати лише одним слідом-проекцією (рис. 3.5).

Р ис. 3.5

П роеціюючою площиною називається площина, яка перпендикулярна до однієї з площин проекцій. Розрізняють три види проеціюючих площин: горизонтально проеціюючу Ф (АВС), фронтально проеціюючу  (DEF) (рис. 3.6), профільно проеціюючу.

Р ис. 3.6

Р ис. 3.7

Основні проекційні ознаки проеціюючих площин:

1) Проеціююча площина зображається слідом-проекцією на перпендикулярній до неї площині проекцій. На двох інших площинах проекцій фігура, що лежить у проеціюючій площині, зображається спотворено.

2) Проеціюючу площину можна задати лише одним слідом-проекцією, який має збиральну властивість (точки, лінії, фігури, що належать проеціюючій площині, проеціюються на слід-проекію цієї площини).

Площина, яка не перпендикулярна ні одній із площин проекцій (рис. 3.7) називається площиною загального положення. Всі три проекції цієї площини являють собою трикутники. Така площина має три сліди на площинах проекцій, які не перпендикулярні осям проекцій.