Властивості центрального проеціювання

1. Проекція точки – точка. Якщо точка М належить площині П₁, то точка М  М₁ (збігається) з своєю проекцією.

2. Проекція відрізка – відрізок, крім тих випадків, коли відрізок (пряма) співпадає з проеціюючим променем.

[AB]П₁ = [A₁ B₁], [Kt]П₁ = K₁t₁ (точка), рис. 1.2.

Рис. 1.2

3. Проекція плоскої фігури – плоска фігура. Крім тих випадків, коли плоска фігура лежить у проеціюючій площині.

ABDП₁ = A₁B₁D₁, ABCП₁ = [A₁B₁], рис. 1.3.

Рис. 1.3

4. При центральному проеціюванні зберігається приналежність геометричних фігур. Якщо Т(АВ), то Т₁(А₁В₁), рис. 1.2.

5. Проекція просторової фігури – плоска фігура.

6. Проекції плоскої (просторової) фігури на паралельні площини – подібні.

Зображення, що їх отримують при центральному проеціюванні, наочні, але складні в побудові і без додаткових умов не є вимірюваними. За принципом центрального проеціювання працює кінокамера, функціонує око. Цей спосіб використовують при побудові наочних зображень у архітектурно-будівельній справі, малюванні.

Паралельне проеціювання можна вважати окремим випадком центрального проеціювання, коли центр проекцій точка S знаходиться нескінченно далеко, тобто всі проеціюючі промені паралельні між собою.

Апаратом паралельного проеціювання є напрямок проеціювання (пряма t) та площина П₁ (площина проекцій) рис. 1.4.

Рис. 1.4

Для отримання, наприклад паралельної проекції точки А необхідно через точку А провести проеціюючий промінь t^’, що паралельний t. Знайти точку перетину променя t з площиною П₁. Точка перетину (А₁) і буде проекцією точки А. Скорочено можна записати так:

1. А  t, t^’ t.

2. t^’  П₁ = A₁

A  П₁ = A₁

Властивості паралельного проеціювання

Пять перших властивостей центрального проеціювання є дійсними також і для паралельного проеціювання. Крім того, для паралельного проеціювання ще дійсні такі властивості:

1. Проекції плоскої (просторової) фігури на паралельні площини – одинакові (рівні).

2. Проекції паралельних прямих (відрізків) паралельні [АВ]  [СD]  [А₁В₁] [С₁D₁].

3. Проекції рівних і паралельних відрізків – рівні.

([АВ]  [СK], [АВ] = [СK])  [А₁В₁]= [С₁K₁].

4. Точка К ділить відрізок СD у тому ж самому відношенні, що й проекція K₁ точки К ділить проекцію відрізка С₁D₁:

Паралельне проеціювання поділяють на косокутне (проеціювальні промені не перпендикулярні до площини проекцій) і прямокутне (проеціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій). Прямокутне проеціювання ще має назву ортогонального, а проекції ортогональних. Для ортогональних проекцій справедлива теорема про проекцію прямого кута.

Теорема про проекцію прямого кута

Я кщо хоч одна із сторін прямого кута паралельна площині проекцій, а інша їй не перпендикулярна, то прямий кут на цю площину проеціюється без спотворень (рис. 1.5).

Дано:  А = 90^O, bП₁, aП₁, tП₁. Довести:  А₁ = 90^O

Доведення:

(АА₁)П₁, то (АА₁)  t

oтже, (АА₁)b₁, або b₁(АА₁).

Рис. 1.5

За умовою bb₁  b(АА₁) – отже,

bА – за умовою, B(АА₁) – за доведеним:

B(АА₁) = А  b(a(АА₁)), – згідно з ознакою перпендикулярності прямої та площини.

Так, як b₁b, то і b₁, – значить перпендикулярна будь-якій прямій площини  у тому числі і до а₁: b₁а₁ – теорему доведено.