Взаємна перпендикулярність двох площин

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої. Тому достатньо, щоб серед елементів, які задають площину, яка перпендикулярна площині, був перпендикуляр до іншої площини.

Задача 1. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна до заданої площини  (АВС) (рис. 3.27).

Рис. 3.27

Щоб провести через точку М площину, перпендикулярну до площини , треба спочатку з точки М опустити перпендикуляр на цю площину.

1) Проводимо h i f  .

2) Проводимо проекції перпендикуляра , опущеного з точки М на площину : ₁  h₁; ₂  f₂.

3) Будуємо площину (  m). Пряму m  m₁, m₂ проводимо довільно, оскільки площин, які проходять через пряму  і перпендикулярних до площини  є безліч, а тому довільною прямою m визначена одна з можливих.

Взаємна перпендикулярність двох прямих

Питання взаємної перпендикулярності двох прямих розглянемо при розв'язанні задачі на визначення відстані від точки до прямої, оскільки саме відстань від точки до прямої визначається довжиною відрізка перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Коли пряма займає часткове положення (паралельна або перпендикулярна до площини проекцій), можливе застосування теореми про проеціювання прямого кута, і без будь-яких допоміжних побудов можна провести проекції прямої, перпендикулярної до заданої (рис. 3.28, 3.29).

Пряма ί є фронтально-проеціюючою і водночас горизонталлю, а тому на П₁ вона зберігає свою перпендикулярність з перпендикуляром, опущеним з точки А на неї (рис. 3.29).

Т аким чином, на комплексному кресленні А₁К₁  ί₁. Очевидно, що АК – фронталь, а тому А₁К₁  ί₁. Очевидно, що АК – фронталь, а тому А₂К₂ – натуральна величина відрізка перпендикуляра АК.

Рис. 3.28 Рис. 3.29

Визначення кута нахилу площини до площини проекцій

Кут нахилу площини до площини проекцій визначається за допомогою лінії найбільшого нахилу площини.

Н а рис. 3.30 показано визначення кута нахилу площини загального положення  (ABC) до площини проекцій П₂.

Р ис. 3.30

Для побудови лінії найбільшого нахилу заданої площини до П₂ проводимо фронталь площини. На П₂ в будь-якому місці площини  проводимо фронтальну проекцію лінії найбільшого нахилу площини до П₂ під кутом 90⁰ до f₂ (відрізок В₂2₂). Методом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину відрізка лінії найбільшого нахилу і кут  нахилу відрізка до П₂, який і буде кутом нахилу площини  до площини проекцій П₂.

Цар Єгипту Птоломей І., зацікавившись геометрією, якось запитав у її основоположника, великого математика Евкліда (ІІІ ст. до н.е.), чи не можна якось легше і швидше опанувати геометрією. «Царських шляхів до геометрії нема», - з суворою гідністю відповів він. Учений цією фразою хотів сказати, що наука така справа, при якій ніякі привілеї неможливі.

Розглядаючи дану і попередні теми ми використовували різні символи: трикутник, чотирикутник, коло тощо. Сучасною наукою немало зроблено для розгадування символічного значення окремих символів і знаків. Багато символів, знаків зазнавали змін під впливом різних часів, племен і народів. Минали роки, століття, і разом з ними змінювались мотиви, знаки, символи. Натомість з’являлися нові, які з часом теж видозмінювались. Нижче подаємо коротку інформацію про значення окремих символів (народознавчий аспект):

Трикутник – у трикутнику втілена ідея триєдності природи Всесвіту: Неба, Землі і Людини. Він також символізує батька, матір, дитину. Це символ божественної «Трійці». Рівнобічний трикутник символізує завершеність. Квадрат – символ коня. Підтвердженням цього є спосіб оранки і боронування: поле орали у двох напрямах – «туди» і «назад», а боронували впоперек, тобто навхрест. Коло – символ Сонця, зорі, символ життя. Крапка – початок всіх початків. Пряма горизонтальна лінія – спокій. Пряма вертикальна лінія – величність .